Question

（2012•黃石）如圖所示，已知A點(diǎn)從（1，0）點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒后，以O(shè)、A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使B、C點(diǎn)都在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t=

4

3

-1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)已知條件，求出經(jīng)過(guò)t秒后，OC的長(zhǎng)，當(dāng)⊙P與OA，即與x軸相切時(shí)，如圖所示，則切點(diǎn)為O，此時(shí)PC=OP，過(guò)P作PE⊥OC，利用垂徑定理和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)即可求出t的值．

解答：解：∵已知A點(diǎn)從（1，0）點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，
∴經(jīng)過(guò)t秒后，
∴OA=1+t，
∵四邊形OABC是菱形，
∴OC=1+t，
當(dāng)⊙P與OA，即與x軸相切時(shí)，如圖所示，則切點(diǎn)為O，此時(shí)PC=OP，過(guò)P作PE⊥OC，
∴OE=CE=

1

2

OC，
∴OE=

1+t

2

，
在Rt△OPE中，
OE=OP•cos30°=2

3

，
∴

1+t

2

=2

3

，
∴t=4

3

-1，
故答案為：4

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性的考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理的運(yùn)用以及解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題目．