Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(2，2)，B(4，0)．將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a 角(0°＜a ＜90°)得到△OCD(O，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O，C，D)，將△OAB沿x軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到△EFG(m＞0，O，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為E，F，G)，a ，m的值恰使點(diǎn)C，D，F落在同一反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象上．

(1)∠AOB＝________°，a ＝________°；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)A，B，F的拋物線的解析式；

(3)若(2)中拋物線的頂點(diǎn)為M，拋物線與直線EF的另一個(gè)交點(diǎn)為H，拋物線上的點(diǎn)P滿足以P，M，F，A為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等(點(diǎn)P不與點(diǎn)H重合)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，并求位于直線EF上方的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∠AOB＝30°，a ＝60°．　2分 　　(2)∵A，B，△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a 角得到△OCD，(如圖) 　　∴OA＝OB＝OC＝OD＝4． 　　由(1)得 ． 　　∴點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)C的坐標(biāo)為． 　　∵點(diǎn)C，D，F落在同一反比例函數(shù)(k≠0)的圖象上， 　　∴． 　　∵點(diǎn)F是由點(diǎn)A沿軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到， 　　∴，，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．　3分 　　∴點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，可設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B，F的拋物線的解析式為． 　　∴ 　　解得 　　∴所求拋物線的解析式為．　4分 　　(3)滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為5．　5分 　　拋物線的頂點(diǎn)為． 　　∵△EFG是由△OAB沿軸負(fù)方向平移m個(gè)單位得到， 　　∴，，∠FEG＝∠AOB＝30°． 　　∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為． 　　可得直線EF的解析式為． 　　∵點(diǎn)H的橫坐標(biāo)是方程的解， 　　整理，得． 　　解得． 　　∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為． 　　由拋物線的對(duì)稱性知符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為．　6分 　　可知△AFM是等邊三角形，∠MAF＝60°． 　　由A，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，， 　　可得直線AM的解析式為． 　　過點(diǎn)H作直線AM的平行線l，設(shè)其解析式為(b≠8)． 　　將點(diǎn)H的坐標(biāo)代入上式，得． 　　解得，直線l的解析式為． 　　∵直線l與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解． 　　整理，得．解得． 　　∴點(diǎn)滿足，四邊形的面積與四邊形MFAH的面積相等．(如圖)　7分 　　點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)也符合題意，其坐標(biāo)為．　8分 　　綜上所述，位于直線EF上方的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為， 　　，．