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【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線經過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:根據已知條件可設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5),

把點A(0,4)代入上式得:a= ,

∴y= (x﹣1)(x﹣5)= x2 x+4= (x﹣3)2 ,

∴拋物線的對稱軸是:x=3


(2)

解:P點坐標為(3, ).

理由如下:

∵點A(0,4),拋物線的對稱軸是x=3,

∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4)

如圖1,連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最。

設直線BA′的解析式為y=kx+b,

把A′(6,4),B(1,0)代入得

解得 ,

∴y= x﹣ ,

∵點P的橫坐標為3,

∴y= ×3﹣ = ,

∴P(3, ).


(3)

解:在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.

設N點的橫坐標為t,此時點N(t, t2 t+4)(0<t<5),

如圖2,過點N作NG∥y軸交AC于G;作AD⊥NG于D,

由點A(0,4)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為:y=﹣ x+4,

把x=t代入得:y=﹣ t+4,則G(t,﹣ t+4),

此時:NG=﹣ t+4﹣( t2 t+4)=﹣ t2+4t,

∵AD+CF=CO=5,

∴SACN=SANG+SCGN= AD×NG+ NG×CF= NGOC= ×(﹣ t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣ 2+ ,

∴當t= 時,△CAN面積的最大值為

由t= ,得:y= t2 t+4=﹣3,

∴N( ,﹣3)


【解析】(1)拋物線經過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣5),代入A(0,4)即可求得函數的解析式,則可求得拋物線的對稱軸;(2)點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4),連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最小,可求出直線BA′的解析式,即可得出點P的坐標.(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.設N點的橫坐標為t,此時點N(t, t2 t+4)(0<t<5),再求得直線AC的解析式,即可求得NG的長與△ACN的面積,由二次函數最大值的問題即可求得答案.

練習冊系列答案
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(2)當x=   秒時,點P到達點A處?

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A.(2011,0)
B.(2011,1)
C.(2011,2)
D.(2010,0)

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(2)已知一個長方體是按上述方式拼成的,組成它的正方體不超過10個,且若從上面看這個長方體得到的平面圖形由4個正方形組成.

請從A,B兩題中任選一題作答,我選擇   題.

A.請畫出從上面看這個長方體得到的平面圖形.(請畫出所有可能的圖形)

B.請畫出從上面看這個長方體得到的平面圖形.(請畫出所有可能的圖形,并在所畫圖形的下方直接寫出拼成該長方體所需的正方體的總個數)

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