Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的邊在x軸上，∠CAB=90°，tan∠ACB=

1

3

，將Rt△ABC沿直線BC翻折得Rt△DBC，再將Rt△DBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，正好點C與坐標(biāo)原點O重合，點D的對應(yīng)點E落在反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）的圖象上，此時線段AC交雙曲線于點F，則S_△CFE=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：過點E作EH⊥OB于點H，由全等變換可得∠EOB=∠ACB，由tan∠EOB=

1

3

，點E在反比例函數(shù)圖象上可求出點E的坐標(biāo)，易證△OHE∽△EHB，從而可求出HB、EB（即AB）、進而可求出AH，OE（即AC）、OB、OA，然后由點F在反比例函數(shù)圖象上可求出AF的長，從而可求出CF的長，就可求出△CFE的面積．

解答：解：過點E作EH⊥OB于點H，如圖，
則有∠EHO=∠BHE=90°．
由題可得：△CAB≌△CDB≌△OEB，
∴∠ACB=∠DCB=∠EOB，∠CAB=∠CDB=∠OEB=90°，
AC=CD=OE，AB=DB=EB．
∵tan∠ACB=

1

3

，
∴tan∠EOB=

EH

OH

=

1

3

．
設(shè)EH=a，則OH=3a，
∴點E的坐標(biāo)為（3a，a）．
∵點E在反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）的圖象上，
∴3a²=12，a＞0，∴a=2．
∴OH=6，EH=2．
∵∠OEB=90°，
∴∠OEH=90°-∠HEB=∠EBH，
∴△OHE∽△EHB，
∴

OH

EH

=

HE

HB

，
∴

6

2

=

2

HB

，
∴HB=

2

3

，
∴AC=OE=

OH2+EH2

=

40

=2

10

，
AB=EB=

EH2+HB2

=

4+ 4 9

=

2 10

3

，
∴AH=AB-HB=

2 10

3

-

2

3

=

2 10 -2

3

，
OA=OB-AB=OH+HB-AB=6+

2

3

-

2 10

3

=

20-2 10

3

．
∵點F在反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）的圖象上，
∴AF=

12

20-2 10 3

=

10+ 10

5

，
∴CF=AC-AF=2

10

-

10+ 10

5

=

9 10 -10

5

，
∴S△CEF=

1

2

CF•AH
=

1

2

×

9 10 -10

5

×

2 10 -2

3

=

100-19 10

15

．
故答案為：

100-19 10

15

．

點評：本題主要考查了全等變換、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、勾股定理等知識，對運算能力要求較高．