【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C(0,-6),與x軸交于點A,B,且B點的坐標(biāo)為(3,0).

(1)求該拋物線的解析式.

(2)若點P是AB上的一動點,過點P作PE∥AC,交BC于E,連接CP,求△PCE面積的最大值.

(3)若點D為OA的中點,點M是線段AC上一點,且△OMD為等腰三角形,求M點的坐標(biāo).

【答案】(1) y=x2+x-6;(2)最大值為.(3)(-3,-3)或(-,-).

【解析】

試題分析:(1)把B點和C點坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組,然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式;

(2)首先求出PCE面積的表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值;

(3)分三種情況進(jìn)行討論即可.

試題解析:(1)把點C(0,-6),B(3,0)分別代入y=x2+bx+c中,

b=1,c=-6,∴該拋物線的解析式為y=x2+x-6

(2)令y=0,即x2+x-6=0解得x1=-6,x2=3,∴A(-6,0),S△ABC=AB×OC=27

設(shè)P點坐標(biāo)為(x,0),則PB=3-x.∵PE∥AC,

∴∠BPE=∠BAC,∠BEP=∠BCA,∴△PBE∽△BAC,

,得S△PBE=3-x)2

S△PCE=S△PCB-S△PBE=PB×OC-S△PBE=×(3-x)×6-3-x)2

=-(x+2+

∴當(dāng)x=-時,S△PCE的最大值為.

(3)△OMD為等腰三角形,可能有三種情形:

(I)當(dāng)DM=DO時,如答圖①所示.DO=DM=DA=3,

∴∠OAC=∠AMD=45°,∴∠ADM=90°,

∴M點的坐標(biāo)為(-3,-3);

(II)當(dāng)MD=MO時,如答圖②所示.

過點M作MN⊥OD于點N,則點N為OD的中點,

∴DN=ON=,AN=AD+DN=,又△AMN為等腰直角三角形,

∴MN=AN=,∴M點的坐標(biāo)為(-,-);

(III)當(dāng)OD=OM時,∵△OAC為等腰直角三角形,

∴點O到AC的距離為×6=3,即AC上的點與點O之間的最小距離為3

3>3,∴OD=OM的情況不存在.

綜上所述,點M的坐標(biāo)為(-3,-3)或(-,-).

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