Question

如圖，在△ABC中，∠B=46°，D是邊BC上的一點，∠BAD=21°，DC=AB，∠CDE=46°，DE=BD，連接CE．
（1）求證：CE=AD；         
（2）求證：∠ACE=∠CAD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）要證CE=AD，只需證明△EDC≌△DBA即可；
（2）在CD上取點F，使得CF=BD，易證△ADB≌△AFC（SAS），從而可得∠B=∠ACF=46°，進而可求出∠CAD、∠ACE的度數(shù)，問題得以解決．

解答： 證明：（1）∵∠B=46°，∠CDE=46°，
∴∠B=∠EDC，
在△EDC和△DBA中，

DE=BD ∠CDE=∠B DC=AB

，
∴△EDC≌△DBA（SAS），
∴CE=AD；

（2）在CD上取點F，使得CF=BD，如圖，
則有BF=CD．
∵△EDC≌△DBA，
∴∠ECD=∠DAB=21°，CE=AD，
∴BF=CD=AB，
∴∠BAF=∠BFA=

180°-46°

2

=67°．
∵∠ADF=∠BAD+∠B=21°+46°=67°，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，∠ADB=∠AFC．
在△ADB和△AEC中，

AD=AF ∠ADB=∠AFC BD=CF

，
∴△ADB≌△AFC（SAS）
∴∠B=∠ACF=46°
∴∠CAD=180°-67°-46°=67°．
∵∠ACE=∠ACF+∠ECD=46°+21°=67°，
∴∠ACE=∠CAD．

點評：本題主要考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．第（2）小題還可進行以下證明：延長AD、CE于O，易證∠ODE=∠OED，則有OD=OE，由CE=AD可得OA=OC，由此可得∠ACE=∠CAD．