Question

在△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且∠EDF=90°，連接EF，證明：BE²+CF²=EF²．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：延長FD到點(diǎn)G，使DG=DF，連接BG，易證EF=EG，△CDF≌△BDG，可得BG=CF，∠DBG=∠C，即可求得∠ABG=90°，即可判定△BEG是直角三角形，根據(jù)勾股定理可得BE²+BG²=EG²，即可解題．

解答： 證明：延長FD到點(diǎn)G，使DG=DF，連接BG，
∵∠EDF=90°，DF=DG，
∴DE垂直平分FG，
∴EF=EG，
∵D是BC中點(diǎn)，
∴AD=BD，
在△CDF和△BDG中，
∵

DF=DG ∠CDF=∠BDG CD=BD

，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG=CF，∠DBG=∠C，
∵∠A=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=90°，
∴△BEG是直角三角形，
∴BE²+BG²=EG²，
∴BE²+CF²=EF²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)以及直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△CDF≌△BDG是解題的關(guān)鍵．