Question

在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個(gè)如圖所示的直角三角形紙片AOB，已知OA=2，∠AOB=30度．D、E兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，D點(diǎn)以每秒

3

個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)D、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；
（2）在點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)過程中，直線DE與直線OA垂直嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)時(shí)間t在什么范圍時(shí)，直線DE與線段OA有公共點(diǎn)？
（4）將直角三角形紙片AOB在直線DE下方的部分沿DE向上折疊，設(shè)折疊后重疊部分面積為S，請(qǐng)寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：OA=2，∠AOB=30°，則根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半，則AB=1，根據(jù)勾股定理可以求得OB=

3

；所以可以求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）如果連接DE，那么根據(jù)D、E兩點(diǎn)的速度可得出OD：OE=

3

，因此直角三角形ODE中，∠OED=60°，而已知了∠AOB=30°，即可得出OA⊥DE．
（3）本題只需考查直線DE過O，A兩點(diǎn)時(shí)，t的取值即可．
（4）本題要分三種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)0≤t≤

2 3

3

時(shí)，重合部分是三角形．
②當(dāng)

2 3

3

＜t≤

3

時(shí)，重合部分是四邊形．
③當(dāng)

3

＜t≤

4 3

3

時(shí)，重合部分是三角形．
可據(jù)此來求出S，t的關(guān)系式，以及S的最大取值．

解答：解：（1）由題意可知：OA=2，∠AOB=30°，則根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半，則AB=1，根據(jù)勾股定理可以求得OB=

3

；則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，

3

），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，

3

）；

（2）垂直．
理由：連接DE，直角三角形ODE中，tan∠OED=

OD

OE

=

3

，
∴∠OED=60°．
∵∠BOA=30°，
∴OA⊥ED．

（3）因?yàn)镈E總是垂直于OA運(yùn)動(dòng)，因此可以看做直線DE沿OA方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．因此兩者有公共點(diǎn)的取值范圍就是O?A之間．
當(dāng)DE過O點(diǎn)時(shí)，t=0．
當(dāng)DE過A點(diǎn)時(shí)，直角三角形OAD中，OA=2，∠ODA=30°，因此OD=4，t=

4 3

3

．
因此t的取值范圍是0≤t≤

4 3

3

．

（4）當(dāng)0≤t≤

2 3

3

時(shí)，S=

3

8

t²；Smax=

3

6

；
當(dāng)

2 3

3

＜t≤

3

時(shí)，S=

3

2

-

3

8

t²-

3

2

（

3

-t）²=-

5 3

8

（t-

4 3

5

）²+

3

5

，Smax=

3

5

；
當(dāng)

3

＜t≤

4 3

3

時(shí)，S=

3

2

（2-

3

2

t）²，S無最大值；
綜上所述S的最大值為

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題中對(duì)于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要分類進(jìn)行討論．分類討論是初中數(shù)學(xué)重要的思想方法，難點(diǎn)是一要想到用討論的方法進(jìn)行求解．二是討論界限要確定不要漏解和重復(fù)．