閱讀下面的題目及分析過程,再回答問題.
設(shè)x,y為正實(shí)數(shù),且x+y=6,求
x2+1
+
y2+4
的最小值.分析:(1)如圖(1),作長(zhǎng)為6的線段AB,過A、B兩點(diǎn)在同側(cè)各做AC⊥AB,BD⊥AB,使AC=1,BD=2.
(2)設(shè)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)PA=x,PB=y,則x+y=6,連接PC、PD,則PC=
x2+1
,PD=
y2+4
精英家教網(wǎng)
(3)只要在AB上找到使PC+PD為最小的點(diǎn)P的位置,就可以計(jì)算出
x2+1
+
y2+4
的最小值.問題:①在圖(2)中作出符合上述要求的點(diǎn).
②求AP的長(zhǎng)?
③通過上述作圖,計(jì)算當(dāng)x+y=6時(shí),
x2+1
+
y2+4
的最小值為
 

解決問題:
為了豐富學(xué)生的課余生活,石家莊外國(guó)語學(xué)校決定舉辦一次機(jī)器人投籃大賽.規(guī)則是:操縱者站在距線段AB 2米的C處,如圖(3)使機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā),到C處取到籃球,然后行駛到B處,將籃球投入設(shè)在B處的籃筐內(nèi),用時(shí)少的即為勝利者,為了獲得勝利,請(qǐng)你畫出C的最佳位置;并求當(dāng)AB=3米時(shí)機(jī)器人行駛的最短路程?精英家教網(wǎng)
分析:①找出點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接C′D于AB交于點(diǎn)P,即為PC+PD為最小時(shí)所求的點(diǎn)的位置;
②根據(jù)對(duì)稱,利用“SAS”證明△CAP≌△C′AP,得到∠APC′=∠APC,再根據(jù)對(duì)頂角相等和等量代換得到∠APC=∠CPB,又根據(jù)∠CAP=∠B=90°,由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△APC∽△BPC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AP的長(zhǎng);
③根據(jù)題中的分析和作圖可知:當(dāng)x+y=6時(shí),
x2+1
+
y2+4
的最小值為線段C′D的長(zhǎng),所以延長(zhǎng)DB,過C′作C′E⊥DE,得到△DC′E為直角三角形,由CC′和C′E,根據(jù)勾股定理即可求出C′D的長(zhǎng);
解決問題:
作出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)C,故點(diǎn)C為所求的最佳位置,由作圖可知AA′的長(zhǎng),又AB的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理即可求出A′B的長(zhǎng),求出AC+CB的最短距離,即為機(jī)器人走的最短距離.
解答:精英家教網(wǎng)解:①延長(zhǎng)線段CA,在延長(zhǎng)線上截取AC′=AC,連接C′D于AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,
此時(shí)CP+PD最短,∴點(diǎn)P為所求作的點(diǎn);

②∵AC=AC′,∠CAP=∠C′AP=90°,AP=AP,
∴△CAP≌△C′AP,
∵∠APC′=∠APC,又∠APC′=∠DPB,
∴∠APC=∠DPB,又∠CAP=∠B=90°,
∴△APC∽△BPD,
AC
BD
=
AP
BP
,即
AP
6-AP
=
1
2
,
解得:AP=2;

③根據(jù)題意可知:
x2+1
+
y2+4
的最小值為線段C′D的長(zhǎng),精英家教網(wǎng)
延長(zhǎng)DB,過C′作C′E⊥BD,垂足為點(diǎn)E,
則AC=AC′=BE=1,故DE=3,又C′E=x+y=6,
在直角三角形DC′E中,根據(jù)勾股定理得:C′D=
62+32
=3
5

∴當(dāng)x+y=6時(shí),
x2+1
+
y2+4
的最小值為3
5

解決問題:
根據(jù)題意,畫圖形如下:
過點(diǎn)A作直線l的垂線,以垂足為圓心,在直線l的上方找出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′,
連接A′B與直線l交于點(diǎn)C,此時(shí)AC=AC′,故AC+CB最短,∴點(diǎn)C為所求作的點(diǎn),
由對(duì)稱可知AA′=4,又AB=3,
在直角三角形A′AB中,根據(jù)勾股定理得:AC+CB=A′C+CB=A′B=
42+32
=5米,
則機(jī)器人行駛的最短距離為5米.
故答案為:3
5
點(diǎn)評(píng):此題綜合考查了對(duì)稱知識(shí),三角形相似的判斷與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)以及作圖的方法.作圖時(shí)得到的最短距離的原因是兩點(diǎn)之間線段最短.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

31、閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明.
已知:如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DE上,且∠BAE=∠CDE.
求證:AB=CD.
分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個(gè)三角形中,且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等.因此,要證AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請(qǐng)任意選擇其中一種,對(duì)原題進(jìn)行證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22、閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明.
已知:如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DE上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD.
(1)延長(zhǎng)DE到F,使得EF=DE;
(2)作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長(zhǎng)線于F;
(3)過C點(diǎn)作CF∥AB,交DE的延長(zhǎng)線于F.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明.
已知:如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DE上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD.
分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個(gè)三角形中,且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等.因此,要證明AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請(qǐng)任意選擇其中兩種對(duì)原題進(jìn)行證明.

圖(1):延長(zhǎng)DE到F使得EF=DE
圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長(zhǎng)線于F
圖(3):過C點(diǎn)作CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于F.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年廣東佛山南海桂城街道九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明.

已知:如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DE上,且∠BAE=∠CDE.

求證:AB=CD.

分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個(gè)三角形中,且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等.因此,要證AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.

現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請(qǐng)任意選擇其中一種,對(duì)原題進(jìn)行證明.

 

 

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