Question

【題目】如圖，線段 是 的直徑，弦 于點 ，點 是弧 上任意一點， ．

（1）求 的半徑 的長度；
（2）求 ；
（3）直線 交直線 于點 ，直線 交 于點 ，連接 交 于點 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接OC，在Rt△COH中，

∵CH=4,OH=r-2,OC=r.

∴ （r-2）2+42=r2.

∴ r=5

（2）

解：∵弦CD與直徑AB垂直，

∴ 弧AD=弧AC=弧CD.

∴ ∠AOC=∠COD.

∴∠CMD=∠COD.

∴ ∠CMD=∠AOC.

∴sin∠CMD=sin∠AOC.

在Rt△COH中，

∴sin∠AOC==.

∴sin∠CMD=.

（3）

解：連接AM，

∴∠AMB=90°.

在Rt△AMB中，

∴∠MAB+∠ABM=90°.

在Rt△EHB中，

∴∠E+∠ABM=90°.

∴∠MAB=∠E.

∵弧BM=弧BM,

∴∠MNB=∠MAB=∠E.

∵∠EHM=∠NHF.

∴△EHM∽△NHF

∴=.

∴HE.HF=HM.HN.

∵AB與MN交于點H，

∴HM.HN=HA.HB=HA.（2r-HA）=2×（10-2）=16.

∴HE.HF=16.

【解析】（1）連接OC，在Rt△COH中,根據(jù)勾股定理即可r.
（2）根據(jù)垂徑定理即可得出弧AD=弧AC=弧CD；再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半；得出 ∠CMD=∠AOC；在Rt△COH中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可得出答案.
（3）連接AM，則∠AMB=90°.在Rt△AMB中和Rt△EHB中，根據(jù)同角的余角相等即可∠MAB=∠E；再由三角形相似的判定和性質(zhì)即可得HE.HF=HM.HN.
又由AB與MN交于點H，得出HM.HN=HA.HB=HA.（2r-HA）=2×（10-2）=16；從而求出HE.HF=16.
【考點精析】關(guān)于本題考查的余角和補(bǔ)角的特征和勾股定理的概念，需要了解互余、互補(bǔ)是指兩個角的數(shù)量關(guān)系，與兩個角的位置無關(guān)；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．