Question

如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，過C作AB的垂線l交⊙O于另一點(diǎn)D，垂足為E.設(shè)P是 上異于A,C的一個動點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G.

（1）求證：△PAC∽△PDF；

（2）若AB=5，，求PD的長；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式.（不要求寫出的取值范圍）

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）應(yīng)用圓周角定理證明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可證明結(jié)論.

（2）由AC=2BC，設(shè)，應(yīng)用勾股定理即可求得BC，AC的長，則由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的長，由可知△APB是等腰直角三角形，從而可求得PA的長，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，從而求得DF的長，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的長.

（3）連接BP，BD，AD，根據(jù)圓的對稱性，可得，由角的轉(zhuǎn)換可得，由△AGP∽△DGB可得 ，由△AGD∽△PGB可得，兩式相乘可得結(jié)果.

試題解析：（1）由APCB內(nèi)接于圓O，得∠FPC＝∠B，

又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.

∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.

又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.

（2）連接BP，設(shè)，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.

∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.

∵AB⊥CD，∴.

如圖，連接BP，

∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.

∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得，即.

∴PD的長為.

（3）如圖，連接BP，BD，AD，

∵AC=2BC，∴根據(jù)圓的對稱性，得AD=2DB，即.

∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.

∵，∴.

∵△AGP∽△DGB，∴.

∵△AGD∽△PGB，∴.

∴，即.

∵，∴.

∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為.

考點(diǎn)：1.單動點(diǎn)問題；2.圓周角定理；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5. 等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；6.垂徑定理；7.銳角三角函數(shù)定義；8.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式.