Question

如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標(biāo)為（

2

，0），∠CAB=90°，AC=AB，頂點A在⊙O上運(yùn)動．
（1）當(dāng)點A在x軸上時，求點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點A運(yùn)動到x軸的負(fù)半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說明理由；
（3）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值與最小值；
（4）當(dāng)直線AB與⊙O相切時，求AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）中有兩種情況，即A點坐標(biāo)為（1，0）或（-1，0），根據(jù)AB=AC，求出C點坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意過點O作OM⊥BC于點M，求出OM的長，與半徑比較得出位置關(guān)系．
（3）過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求AE的長，然后再在Rt△BAE中求出AB的長，進(jìn)而求出面積的表達(dá)式，根據(jù)定義域確定最大最小值．
（4）相切時有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點坐標(biāo)，AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式很容易就能求出．

解答：解：（1）當(dāng)點A的坐標(biāo)為（1，0）時，AB=AC=

2

-1，點C的坐標(biāo)為（1，

2

-1）或（1，1-

2

）；
當(dāng)點A的坐標(biāo)為（-1，0）時，AB=AC=

2

+1，點C的坐標(biāo)為（-1，

2

+1）或（-1，-

2

-1）；

（2）直線BC與⊙O相切
過點O作OM⊥BC于點M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1
∴直線BC與⊙O相切；

（3）過點A作AE⊥OB于點E
在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=1-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（1-x²）+（

2

-x）²=3-2

2

x
∴S=

1

2

AB•AC=

1

2

AB²=

1

2

（3-2

2

x）=

3

2

-

2

x
其中-1≤x≤1，
當(dāng)x=-1時，S的最大值為

3

2

+

2

，
當(dāng)x=1時，S的最小值為

3

2

-

2

．

（4）①當(dāng)點A位于第一象限時（如右圖）：
連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E
∵直線AB與⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴點O、A、C在同一條直線
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=

2

2

，
點A的坐標(biāo)為（

2

2

，

2

2

）
過A、B兩點的直線為y=-x+

2

．

②當(dāng)點A位于第四象限時（如右圖）：
點A的坐標(biāo)為（

2

2

，-

2

2

）
∵B的坐標(biāo)為（

2

，0）
∴過A、B兩點的直線為y=x-

2

．

點評：本題是一次函數(shù)與圓、三角形結(jié)合的題，用到了圓的性質(zhì)，圓與直線的關(guān)系以及三角形相似等知識，知識面比較廣，要求綜合能力比較高．