試題分析:(1)①根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的判定方法求解即可;
②根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的判定方法即可作出判斷;
③根據(jù)“自相似點”的定義結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可作出判斷;
④先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠B、∠ACB的度數(shù),再根據(jù)P是△ABC邊AB上的相似點可證得△CBP∽△ABC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可;
(2)①在距離A點
處取點P,作PQ⊥CD,垂足為Q;
②答案不唯一,合理即可.
(1)①在∠ABC內(nèi),作∠CBD=∠A,
在∠ACB內(nèi),作∠BCE=∠ABC,BD交CE于點P,
則P為△ABC的自相似點;
②不是,如正三角形.
③直角三角形.
④∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°.
∵P是△ABC邊AB上的相似點.
∴△CBP∽△ABC.
∴∠BCP=∠A=36°,且
.
∴∠ACP=36°=∠A,∠B=∠BPC.
∴AP=CP=BC.
設(shè)BP=x,AP=CP=BC=y(tǒng),有
=
.
化簡,得x
2+xy-y
2=0.
舍去負(fù)根,得
=
,即=
;
(2)①在距離A點
處取點P,作PQ⊥CD,垂足為Q;
②辯證思考
問題:是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線?如果是,請說明理由;如果不是,請找出一個不存在邊上相似線的矩形.
解答:不是,如正方形.
特例分析
答案不唯一,以下答案供參考:
i)問題:已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線,且矩形PQCB∽矩形ABCD,a、b之間有何數(shù)量關(guān)系?
解答:a=2b.
ii)問題:已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線,且P 是AB的中點,a、b之間有何數(shù)量關(guān)系?
解答:a=2b.
iii)問題:已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線,當(dāng)a=2,b=1時,求AP.
解答:AP=12.
iv)問題:已知矩形ABCD為黃金矩形(即
=
),PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線,求
.
解答:
=
.
點評:此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點,在中考中極為常見,一般以壓軸題形式出現(xiàn),難度較大.