Question

如圖1，已知Rt△ABC中，，AC＝8cm，BC＝6cm．點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，連接DQ，交AB于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）用含有t的代數(shù)式表示AE=_____________；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，DQ=AP；
（3）如圖2，當(dāng)t為何值時(shí)，平行四邊形AQPD為菱形；
（4）直接寫出：當(dāng)DQ的長最小時(shí)，t的值.

Answer 1

（1）5－t；（2）；（3）；（4）

試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)特征即可求得結(jié)果；
（2）由題意當(dāng)DQ=AP時(shí)，□AQPD是矩形，易證△APQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）當(dāng)□AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP，根據(jù)∠BAC的余弦函數(shù)的定義求解即可；
（4）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)特征結(jié)合DQ的長度的特征求解即可.
（1）由題意得AE=5－t；
（2）當(dāng)DQ=AP時(shí)，□AQPD是矩形
易證△APQ∽△ABC，得，解得
∴當(dāng)時(shí)，DQ=AP；
（3）當(dāng)□AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP
則COS∠BAC，即，解得
∴當(dāng)時(shí)，□AQPD是菱形；
（4） 
點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.