Question

(1)如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)。以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC，得到△BE’A（點C與點A重合，點E到點E’處），連接DE’。求證：DE’=DE.

（2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點，

且滿足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求證：DE²=AD²+EC².

 

 

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC得到，

                   ∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。

                   ∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC。

                   ∴∠ABD＋∠E’BA =∠ABC，即∠E’BD=∠ABC�！唷螮’BD=∠DBE。

                   在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，

                   ∴△E’BD≌△EBD（SAS）�！郉E’=DE。

（2）以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC=90°，得到△BE’A（點C與點A重合，點E到點E’處），連接DE’。

 

 

     由（1）知DE’=DE。

     由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。

     又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。

     ∴∠E’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90°。

     在Rt△DE’A中，DE’²=AD²+E’A²，∴DE²=AD²+EC²。

【解析】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC經(jīng)等量代換可得

∠E’BD=∠DBE，從而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE’=DE。

（2）由（1）的啟示，作如（1）的輔助圖形，即可得到直角三角形DE’A，根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論。