【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx的圖象過點A(4,0),頂點為B,連接AB、BO.

(1)求二次函數(shù)的表達式;

(2)若C是BO的中點,點Q在線段AB上,設點B關于直線CQ的對稱點為B',當△OCB'為等邊三角形時,求BQ的長度;

(3)若點D在線段BO上,OD=2DB,點E、F在△OAB的邊上,且滿足△DOF與△DEF全等,求點E的坐標.

【答案】(1)二次函數(shù)的表達式為y=﹣x2+2x;(2)BQ=;(3)點E的坐標為:(,0)或(,)或(2+,2﹣)或(4,0).

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式;

(2)先求出OB和AB的長,根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠ABO=90°,由對稱計算∠QCB=60°,利用特殊的三角函數(shù)列式可得BQ的長;

(3)因為D在OB上,所以F分兩種情況:

i)當F在邊OA上時,ii)當點F在AB上時,

當F在邊OA上時,分三種情況:

①如圖2,過D作DF⊥x軸,垂足為F,則E、F在OA上,②如圖3,作輔助線,構(gòu)建△OFD≌△EDF≌△FGE,③如圖4,將△DOF沿邊DF翻折,使得O恰好落在AB邊上,記為點E;當點F在OB上時,過D作DF∥x軸,交AB于F,連接OF與DA,依次求出點E的坐標即可.

試題解析:(1)將點A的坐標代入二次函數(shù)的解析式得:﹣×42+4b=0,解得b=2,

∴二次函數(shù)的表達式為y=﹣x2+2x.

(2)∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣2)2+2,

∴B(2,2),拋物線的對稱軸為x=2.

如圖1所示:

由兩點間的距離公式得:OB= =2,BA= =2

∵C是OB的中點,

∴OC=BC=

∵△OB′C為等邊三角形,

∴∠OCB′=60°.

又∵點B與點B′關于CQ對稱,

∴∠B′CQ=∠BCQ=60°.

∵OA=4,OB=2,AB=2,

∴OB2+AB2=OA2,

∴∠OBA=90°.

在Rt△CBQ中,∠CBQ=90°,∠BCQ=60°,BC=,

∴tan60°= ,

∴BQ=CB=×=

(3)分兩種情況:

i)當F在邊OA上時,

①如圖2,過D作DF⊥x軸,垂足為F,

∵△DOF≌△DEF,且E在線段OA上,

∴OF=FE,

由(2)得:OB=2,

∵點D在線段BO上,OD=2DB,

∴OD=OB= ,

∵∠BOA=45°,

∴cos45°=

∴OF=ODcos45°= =,

則OE=2OF=,

∴點E的坐標為(,0);

②如圖3,過D作DF⊥x軸于F,過D作DE∥x軸,交AB于E,連接EF,過E作EG⊥x軸于G,

∴△BDE∽△BOA,

=

∵OA=4,

∴DE=,

∵DE∥OA,

∴∠OFD=∠FDE=90°,

∵DE=OF=,DF=DF,

∴△OFD≌△EDF,

同理可得:△EDF≌△FGE,

∴△OFD≌△EDF≌△FGE,

∴OG=OF+FG=OF+DE=+=,EG=DF=ODsin45°=,

∴E的坐標為(,);

③如圖4,將△DOF沿邊DF翻折,使得O恰好落在AB邊上,記為點E,

過B作BM⊥x軸于M,過E作EN⊥BM于N,

由翻折的性質(zhì)得:△DOF≌△DEF,

∴OD=DE=,

∵BD=OD=,

∴在Rt△DBE中,由勾股定理得:BE= =,

則BN=NE=BEcos45°=×=

OM+NE=2+,BM﹣BN=2﹣,

∴點E的坐標為:(2+,2﹣);

ii)當點F在AB上時,

過D作DF∥x軸,交AB于F,連接OF與DA,

∵DF∥x軸,

∴△BDF∽△BOA,

,

由拋物線的對稱性得:OB=BA,

∴BD=BF,

則∠BDF=∠BFD,∠ODF=∠AFD,

∴OD=OB﹣BD=BA﹣BF=AF,

則△DOF≌△DAF,

∴E和A重合,則點E的坐標為(4,0);

綜上所述,點E的坐標為:(,0)或()或(2+,2﹣)或(4,0).

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