Question

（2004•淮安）已知：二次函數(shù)y=x²-mx-4．
（1）求證：該函數(shù)的圖象一定與x軸有兩個不同的交點；
（2）設該函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標為（x₁，0）、（x₂，0），且，求m的值，并求出該函數(shù)圖象的頂點坐標．

Answer 1

【答案】分析：判斷二次函數(shù)y=x²-mx-4的圖象與x軸的交點情況，相當于求方程x²-mx-4=0的判別式符號，本題就是要證明△＞0；
二次函數(shù)圖象與x軸的兩交點的橫坐標x₁，x₂也就是方程x²-mx-4=0的兩根，可運用根與系數(shù)關系解題．
解答：解：（1）因為△=m²+16＞0，所以一元二次方程x²-mx-4=0有兩個不相等的實數(shù)根，
因而函數(shù)y=x²-mx-4的圖象一定與x軸有兩個不同的交點；

（2）因為該函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點坐標分別為（x₁，0）、（x₂，O），
所以x₁，x₂是方程x²-mx-4=0的兩個實數(shù)根，
所以x₁+x₂=m，x₁•x₂=-4．
由得，
因此m=4．
所以二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x-4=（x-2）²-8，因此頂點坐標為（2，-8）．
點評：主要考查了二次函數(shù)的圖象性質與一元二次方程根與系數(shù)之間的關系，以及求圖象的頂點坐標．這些性質和根與系數(shù)關系的變形要求掌握．