【題目】如圖,正方形OABC的頂點O與原點重合,點A,C分別在x軸與y軸的正半軸上,點A的坐標(biāo)為(40),點D在邊AB上,且tanAOD,點E是射線OB上一動點,EFx軸于點F,交射線OD于點G,過點GGHx軸交AE于點H

1)求B,D兩點的坐標(biāo);

2)當(dāng)點E在線段OB上運(yùn)動時,求∠HDA的大;

3)以點G為圓心,GH的長為半徑畫⊙G.是否存在點E使⊙G與正方形OABC的對角線所在的直線相切?若不存在,請說明理由;若存在,請求出所有符合條件的點E的坐標(biāo).

【答案】(1)B4,4),D4,2);(245°;(3)存在,符合條件的點為(8484)或(8+4,8+4)或,理由見解析

【解析】

1)由正方形性質(zhì)知AB=OA=4,∠OAB=90°,據(jù)此得B44),再由tanAOD= AD=OA=2,據(jù)此可得點D坐標(biāo);

2)由GF=OF,再由∠AOB=ABO=45°OF=EF,即GF=EF,根據(jù)GHx軸知HAE的中點,結(jié)合DAB的中點知DHABE的中位線,即HDBE,據(jù)此可得答案;
3)分⊙G與對角線OB和對角線AC相切兩種情況,設(shè)PG=x,結(jié)合題意建立關(guān)于x的方程求解可得.

解:(1)∵A4,0),

OA4,

∵四邊形OABC為正方形,

ABOA4,∠OAB90°,

B4,4),

RtOAD中,∠OAD90°

tanAOD,

ADOA×42,

D4,2);

2)如圖1,在RtOFG中,∠OFG90°

tanGOF,即GFOF

∵四邊形OABC為正方形,

∴∠AOB=∠ABO45°,

OFEF

GFEF

GEF的中點,

GHx軸交AEH

HAE的中點,

B4,4),D4,2),

DAB的中點,

DHABE的中位線,

HDBE

∴∠HDA=∠ABO45°

3)①若⊙G與對角線OB相切,

如圖2,當(dāng)點E在線段OB上時,

過點GGPOB于點P,設(shè)PGx,可得PEx,EGFGx,

OFEF2x,

OA4,

AF42x,

GEF的中點,HAE的中點,

GHAFE的中位線,

GHAF×42x)=2x,

x2x,

解得:x22,

E8484),

如圖3,當(dāng)點E在線段OB的延長線上時,

xx2,

解得:x2+,

E8+4,8+4);

②若⊙G與對角線AC相切,

如圖4,當(dāng)點E在線段BM上時,對角線AC,OB相交于點M

過點GGPOB于點P,設(shè)PGx,可得PEx,

EGFGx,

OFEF2x

OA4,

AF42x,

GEF的中點,HAE的中點,

GHAFE的中位線,

GHAF×42x)=2x,

過點GGQAC于點Q,則GQPM3x2,

3x22x,

;

如圖5,當(dāng)點E在線段OM上時,

GQPM23x,則23x2x,

解得,

如圖6,當(dāng)點E在線段OB的延長線上時,

3x2x2,

解得:(舍去);

綜上所述,符合條件的點為(8484)或(8+4,8+4)或

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(1)八年級(3)班學(xué)生總?cè)藬?shù)是   ,并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;

(2)劉老師發(fā)現(xiàn)報名參加植物識別的學(xué)生中恰好有兩名男生,現(xiàn)準(zhǔn)備從這些學(xué)生中任意挑選兩名擔(dān)任活動記錄員,請用列表或畫樹狀圖的方法,求恰好選中1名男生和1名女生擔(dān)任活動記錄員的概率.

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的值為   

②∠AMB的度數(shù)為   

(2)類比探究

如圖2,在OABOCD中,∠AOB=COD=90°,OAB=OCD=30°,連接ACBD的延長線于點M.請判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說明理由;

(3)拓展延伸

在(2)的條件下,將OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點M,若OD=1,OB=,請直接寫出當(dāng)點C與點M重合時AC的長.

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