Question

如圖1，拋物線y=x²的頂點為P，A、B是拋物線上兩點，AB∥x軸，四邊形ABCD為矩形，CD邊經過點P，AB=2AD．
（1）求矩形ABCD的面積；
（2）如圖2，若將拋物線“y=x²”，改為拋物線“y=x²+bx+c”，其他條件不變，請猜想矩形ABCD的面積；
（3）若將拋物線“y=x²+bx+c”改為拋物線“y=ax²+bx+c”，其他條件不變，請猜想矩形ABCD的面積．（用a、b、c表示，并直接寫出答案）
附加題：若將題中“y=x²”改為“y=ax²+bx+c”，“AB=2AD”條件不要，其他條件不變，探索矩形ABCD面積為常數時，矩形ABCD需要滿足什么條件并說明理由．

Answer 1

（1）設AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，又拋物線是軸對稱圖形，
∴PD=m．
∴點A的坐標為（-m，m），
∴m²=m，
又∵m≠0，
∴m=1
∴矩形ABCD的面積為1×2=2．

（2）設拋物線y=x²+bx+c=（x-h）²+n，
∴點P的坐標為（h，n），
設AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，
又∵拋物線是軸對稱圖形，
∴PD=m，
∴點A的坐標為（h-m，n+m），
∴n+m=（h-m-h）²+n，
∴m=m²，
又∵m≠0，
∴m=1，
∴矩形ABCD的面積為1×2=2．

（3）

2

a2

附加題：

AB

AD

為常數，
設拋物線y=ax²+bx+c=a（x-h）²+n，
∴點P的坐標為（h，n），
設AD=m，

AB

AD

=k，
∴AB=km，
又∵拋物線是軸對稱圖形，
∴PD=

km

2

∴點A的坐標為（h-

km

2

，n+m），
∴n+m=a（h-

km

2

-h）²+n，
∴m=

ak2m2

4

，
又∵m≠0，
∴m=

4

ak2

，
∴矩形ABCD的面積為km²=

16

a2k3

∵a為常數，
∴k為常數時，矩形ABCD的面積為常數，
即

AB

AD

為常數時，矩形ABCD的面積為常數．