Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）．

（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；

（2）將該拋物線向下平移m(m>0)個(gè)單位，設(shè)得到的拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為B、C，若△ABC為等邊三角形．

①求m的值；

②設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使四邊形CBDP為菱形？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）; （2）①m=3;②不存在這樣的點(diǎn)P,理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），利用待定系數(shù)法求解即可．

（2）①先寫(xiě)出平移后的函數(shù)解析式，然后得出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)△ABC為等邊三角形，可得出關(guān)于m的方程，解出即可；

②求出點(diǎn)D坐標(biāo)，分兩種情況進(jìn)行討論，①PD為對(duì)角線，②PD為邊，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．

試題解析：

（1）由題意可得， 解得

∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為．

（2）①將向下平移m個(gè)單位得： -m= ，可知A(1，-m)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．

由△ABC為等邊三角形，得，由m＞0，解得m=3．

②不存在這樣的點(diǎn)P．

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，∴D（1，3）．

由①得BC=2．

要使四邊形CBDP為菱形，需DP∥BC，DP=BC．

由題意，知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1+2，

當(dāng)x=1+2時(shí)，

-m==，

故不存在這樣的點(diǎn)P．