Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線與AC，AB的交點(diǎn)分別為D，E．
（1）若AD=15，cos∠BDC=

4

5

，求AC的長(zhǎng)和tanA的值；
（2）設(shè)∠BDC=α，計(jì)算tan

α

2

的值．（用sinα和cosα的式子表示）

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得DB=DA=15，再根據(jù)余弦的定義得到cos∠BDC=

DC

DB

=

4

5

，則DC=12，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出BC=9，然后在Rt△ACB中，根據(jù)正切的定義求解；
（2）設(shè)AD=t，則DB=t，根據(jù)正、余弦的定義得到DC=t•cosα，BC=t•sinα，再根據(jù)正切的定義tanA=

BC

AC

=

sinα

sinα+cosα

，然后證明∠A=

α

2

即可．

解答：解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA=15，
在Rt△DCB中，cos∠BDC=

DC

DB

=

4

5

，
∴

DC

15

=

4

5

，
∴DC=12，
∴BC=

BD2-DC2

=9，
在Rt△ACB中，AC=AD+CD=27，
∴tanA=

BC

AC

=

9

27

=

1

3

；
（2）設(shè)AD=t，則DB=t，
在Rt△DCB中，
∵cos∠BDC=

DC

DB

，sin∠BDC=

BC

BD

，
∴DC=t•cosα，BC=t•sinα，
在Rt△ACB中，AC=AD+DC=t（sinα+cosα），
∴tanA=

BC

AC

=

t•sinα

t(sinα+cosα)

=

sinα

sinα+cosα

，
∵AD=DB，
∴∠A=∠DBA，
∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A，
∴∠A=

α

2

，
∴tan

α

2

=

sinα

sinα+cosα

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．