Question

已知點A（2，-2）和點B（-4，n）在拋物線y=ax²（a≠0）上．
（1）求a的值及點B的坐標；
（2）點P在y軸上，且滿足△ABP是以AB為直角邊的直角三角形，求點P的坐標；
（3）平移拋物線y=ax²（a≠0），記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′．點M（2，0）在x軸上，當拋物線向右平移到某個位置時，A′M+MB′最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先將A點代入求出a的值，進而得出B點坐標即可；
（2）分別根據(jù)①以A為直角頂點，則∠P₁AB=90°，②以B為直角頂點，則∠DBP₂=90°，進而求出P點坐標即可；
（3）首先求出直線BE的解析式進而得出Q點坐標，再求出MQ的長，進而得出平移后解析式．

解答：解：（1）∵點A（2，-2）在拋物線y=ax²（a≠0）上．
∴a=-

1

2

，
拋物線解析式為：y=-

1

2

x2，
∴當x=-4，則n=-8，
∴B點坐標為：B（-4，-8）；

（2）如圖1，記直線AB與x、y軸分別交于C、D兩點，
則直線AB：y=x-4，
C（4，0），D（0，-4），
Rt△COD中，
∵CO=DO，
∴∠ODA=45°，
①以A為直角頂點，則∠P₁AB=90°，
Rt△P₁AD中，∠P₁DA=45°，
則

AD

P1D

=cos45°=

2

2

，
∴P1D=

2

AD=4，
又∵D（0，-4），
∴P₁（0，0），
②以B為直角頂點，則∠DBP₂=90°，
Rt△DBP₂中，∠BDP₂=∠ODC=45°，
∴DP2=

2

BD=8，
∴P（0，-12），
∴綜上所述：P（0，0）或（0，-12）；

（3）如圖2，記點A關于x軸的對稱點為：E（2，2），
將B，E代入y=kx+h得：

2k+h=2 -4k+h=-8

，
解得：

k= 5 3 b=- 4 3

，
則直線BE的解析式為：y=

5

3

x-

4

3

令y=0，得x=

4

5

即BE與x軸的交點為：Q(

4

5

，0)，
MQ=|2-

4

5

|=

6

5

，
故拋物線y=-

1

2

x2向右平移

6

5

個單位時A'M+MB'最短，
此時，拋物線的解析式為：y=-

1

2

(x-

6

5

)2．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式等知識，利用分類討論以及數(shù)形結合得出是解題關鍵．