Question

【題目】如圖，已知，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，連接，則周長(zhǎng)的最小值為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作梯形ABCD關(guān)于AB的軸對(duì)稱(chēng)圖形，將BC'繞點(diǎn)C'逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，則有GE'=FE'，P與Q是關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F'、G、P三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，△FEP的周長(zhǎng)最小即為F'G+GE'+E'P，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，F'M為所求長(zhǎng)度；過(guò)點(diǎn)F'作F'H⊥BC'，M是BC中點(diǎn)，則Q是BC'中點(diǎn)，由已知條件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=1，在Rt△MF'H中，即可求得F'M．

作梯形ABCD關(guān)于AB的軸對(duì)稱(chēng)圖形，

作F關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，

∴PF=GQ，

將BC'繞點(diǎn)C'逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，Q點(diǎn)關(guān)于C'G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'，

∴GF'=GQ，

設(shè)F'M交AB于點(diǎn)E'，

∵F關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G，

∴GE'=FE'，
∴當(dāng)點(diǎn)F'、G、P三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，△FEP的周長(zhǎng)最小即為F'G+GE'+E'P，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，

∴F'M為所求長(zhǎng)度；
過(guò)點(diǎn)F'作F'H⊥BC'，
∵M是BC中點(diǎn)，
∴Q是BC'中點(diǎn)，
∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，
∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，
∴F'H=，HC'=1，

∴MH=7，
在Rt△MF'H中，F'M；
∴△FEP的周長(zhǎng)最小值為．
故答案為：．