Question

如圖，DE是⊙O的直徑，CE與⊙O相切，E為切點．連接CD交⊙O于點B，在EC上取一個點F，使EF=BF．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若S_△AMC=S_△AMO+S_△OMC-S_△AOC，DE=9，求BF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OF、OB，
∵CE與⊙O相切，
∴∠OEF=90°，
∵OB=OE=r，
∵BF=EF，OF=OF，
∴△OBF≌△OEF，
∴∠OBF=∠OEF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：連接BE，
∵DE是⊙O直徑，
∴∠DBE=90°，
∴∠EBF+∠FBC=90°，
∠BEF+∠C=90°，
∵EF=BF，
∴∠EBF=∠BEF，
∴∠FBC=∠C，
∴BF=FC=EF=CE，
在Rt△DEC中，cosC=，
設(shè)EC=4x，DC=5x，
∵DC²=EC²+DE²，
∴（5x）²=（4x）²+9²
解得x=3，
∴EC=12，
∴BF=6．
分析：（1）連接OF、OB，通過證明△OBF≌△OEF，得到∠OBF=∠OEF=90°，即OB⊥BF，所以BF是⊙O的切線；
（2）連接BE，設(shè)EC=4x，DC=5x，由勾股定理得DC²=EC²+DE²，所以求出x=3，所以EC=12，所以BF=6．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定、全等三角形的跑的和性質(zhì)、勾股定理的運用以及方程思想的運用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等，解題的關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線．