Question

（2009•衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60度．

（1）求⊙O的直徑；
（2）若D是AB延長線上一點(diǎn)，連接CD，當(dāng)BD長為多少時(shí)，CD與⊙O相切；
（3）若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），連接EF，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF為直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件知：∠BAC=30°，已知AB的長，根據(jù)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AB的長，即⊙O的直徑；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)知：OC⊥CD，根據(jù)OC的長和∠COD的度數(shù)可將OD的長求出，進(jìn)而可將BD的長求出；
（3）應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)EF⊥BC時(shí)，△BEF為直角三角形，根據(jù)△BEF∽△BAC，可將時(shí)間t求出；
當(dāng)EF⊥BA時(shí)，△BEF為直角三角形，根據(jù)△BEF∽△BCA，可將時(shí)間t求出．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°；
∴AB=2BC=4cm，即⊙O的直徑為4cm．

（2）如圖（1）CD切⊙O于點(diǎn)C，連接OC，則OC=OB=×AB=2cm．
∴CD⊥CO；∴∠OCD=90°；
∵∠BAC=30°，
∴∠COD=2∠BAC=60°；
∴∠D=180°-∠COD-∠OCD=30°；
∴OD=2OC=4cm；
∴BD=OD-OB=4-2=2（cm）；
∴當(dāng)BD長為2cm，CD與⊙O相切．

（3）根據(jù)題意得：
BE=（4-2t）cm，BF=tcm；
如圖（2）當(dāng)EF⊥BC時(shí)，△BEF為直角三角形，此時(shí)△BEF∽△BAC；
∴BE：BA=BF：BC；
即：（4-2t）：4=t：2；
解得：t=1；
如圖（3）當(dāng)EF⊥BA時(shí)，△BEF為直角三角形，此時(shí)△BEF∽△BCA；
∴BE：BC=BF：BA；
即：（4-2t）：2=t：4；
解得：t=1.6；
∴當(dāng)t=1s或t=1.6s時(shí)，△BEF為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．在求時(shí)間t時(shí)應(yīng)分情況進(jìn)行討論，防止漏解．