Question

兩個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的矩形ABCD和矩形EFGH如圖1所示擺放在直線l上，DE=2，將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），將矩形EFGH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．
（1）當(dāng)兩個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)C，F(xiàn)重合時(shí)（如圖2），∠DCE=______°，點(diǎn)C到直線l的距離等于______，α=______°；
（2）利用圖3思考：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分為正方形時(shí)，α=______°．

Answer 1

解：（1）過(guò)C作CM⊥DE于M，如圖2，
∵CD=FE=DE=2，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠DCE=60°，
∴CM=DE=，
∵∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，
而∠1等于旋轉(zhuǎn)角，
∴α=30°；

（2）如圖3，
∵四邊形MFNC為正方形，
而矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和矩形EFGH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．
∴NF=NC，∠FNC=90°，
∴∠DNE=90°，ND=NE，
∴∠NDE=∠NED=45°，
∴∠1=180°-90°-45°=45°，
∴α=45°．
故答案為：60，，30；45．
分析：（1）過(guò)C作CM⊥DE于M，由CD=FE=DE=2，得到△CDE為等邊三角形，則∠DCE=60°，CM=DE=，得到∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，得到α=30°；
（2）由四邊形MFNC為正方形，而矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和矩形EFGH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．得到NF=NC，∠FNC=90°，則∠DNE=90°，ND=NE，得到∠NDE=∠NED=45°，所以∠1=180°-90°-45°=45°，即α=45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了矩形和等腰三角形的性質(zhì)．