Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象( 記為拋物線) 頂點(diǎn)為M,直線:y=2x-a與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B.

(1)若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)△ABM的面積為S，求S與a的函數(shù)關(guān)系式；

（3）將二次函數(shù)的圖象繞點(diǎn)P（t,-2）旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)的圖象記為拋物線,頂點(diǎn)為N。

①若點(diǎn)N恰好落在直線上，求a 與t 滿足的關(guān)系；

②當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)二次函數(shù)y的值都會(huì)隨x的值得增大而減小，求t 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a=-2；（2）S=a；（3）①a=2t；②t≤.

【解析】

（1）拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有頂點(diǎn)M在x軸上，故M的縱坐標(biāo)為0；
（2）設(shè)直線與二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=1交于點(diǎn)C,則C（1,2-a），根據(jù)S=即可得S與a的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①根據(jù)題意，點(diǎn)M繞點(diǎn)P（t，-2）旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)N，所以MP=NP，即P為MN中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)N的坐標(biāo)（2t-1，a-2），代入直線:y=2x-a即可求a與t的關(guān)系式；
②旋轉(zhuǎn)前的拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，要滿足在-2≤x≤1時(shí)y隨x的增大而減小，即在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線下降，故開(kāi)口向上；則旋轉(zhuǎn)后的拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸必須在x=-2的左側(cè)，即求出t的范圍．

解：（1）

拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-a-2）．

∵二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)

∴頂點(diǎn)M在x軸上

∴-a-2=0，

∴a=-2 ；

（2）∵y=2x-a與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)

∴A（，0），B（0，）

設(shè)直線與二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=1交于點(diǎn)C,則C（1,2-a），CM=(2-a)-（-a-2）=4

∴S= ；

（3）①根據(jù)題意得，拋物線的頂點(diǎn)N與拋物線的頂點(diǎn)M關(guān)于P（t，-2）成中心對(duì)稱，

∴頂點(diǎn)N坐標(biāo)為（2t-1a-2）

∵點(diǎn)N恰好落在直線上

∴a-2=2(2t-1)-a

∴a=2t ；

②∵旋轉(zhuǎn)前拋物線對(duì)稱軸為直線x=1
∴當(dāng)a＞0拋物線開(kāi)口向上時(shí)，當(dāng)－2≤x≤1時(shí),拋物線的y的值隨x的值增大而減小

∴旋轉(zhuǎn)后拋物線開(kāi)口向下，且頂點(diǎn)N（2t-1，a-2）
∵要滿足在-2≤x＜1的范圍內(nèi)y隨x增大而減小，即拋物線下降
∴對(duì)稱軸直線x=2t-1需在x=-2左側(cè)
∴2t-1≤-2
解得：t≤

∴當(dāng)t≤時(shí)拋物線的y的值隨x的值增大而減小.

故答案為：（1）a=-2；（2）S=a；（3）①a=2t；②t≤.