Question

【題目】如圖1所示，在四邊形ABCD中，點O，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD，AD的中點，連接OE，EF，F(xiàn)G，GO，GE．

（1）證明：四邊形OEFG是平行四邊形；

（2）將△OGE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OMN，如圖2所示，連接GM，EN．

①若OE=，OG=1，求的值；

②試在四邊形ABCD中添加一個條件，使GM，EN的長在旋轉(zhuǎn)過程中始終相等．（不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②添加AC=BD.

【解析】（1）連接AC，由四個中點可知OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，據(jù)此得出OE=GF、OE//GF，即可得證；

（2）①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，據(jù)此可證△OGM∽△OEN得；

②連接AC、BD，根據(jù)①知△OGM∽△OEN，若要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD的條件均可以滿足此條件．

（1）如圖1，連接AC，

∵點O、E、F、G分別是AB、BC、CD、AD的中點，

∴OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，

∴OE=GF，OE//GF，

∴四邊形OEFG是平行四邊形；

（2）①∵△OGE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OMN，

∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，

∴，

∴△OGM∽△OEN，

∴；

②添加AC=BD，

如圖2，連接AC、BD，

∵點O、E、F、G分別是AB、BC、CD、AD的中點，

∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，

∵AC=BD，

∴OG=OE，

∵△OGE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OMN，

∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，

∴OG=OE、OM=ON，

在△OGM和△OEN中，

，

∴△OGM≌△OEN（SAS），

∴GM=EN．