【題目】如圖1,拋物線(xiàn)C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OC=3OA,拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)為G.

(1)求出拋物線(xiàn)C1的解析式,并寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo);

(2)如圖2,將拋物線(xiàn)C1向下平移k(k0)個(gè)單位,得到拋物線(xiàn)C2,設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′,頂點(diǎn)為G′,當(dāng)A′B′G′是等邊三角形時(shí),求k的值:

(3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)C1、C2于P、Q兩點(diǎn),試探究在直線(xiàn)y=﹣1上是否存在點(diǎn)N,使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與AOQ全等,若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線(xiàn)C1的解析式為y=﹣x2+2x+3,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4);(2)k=1;(3)M1,0)、N1,﹣1);M2,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).

【解析】

1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)及OC=3OA得點(diǎn)C坐標(biāo),將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得;

(2)設(shè)拋物線(xiàn)C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,′G′Dx軸于點(diǎn)D,設(shè)BD′=m,由等邊三角形性質(zhì)知點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m+1,0),點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1,m),代入所設(shè)解析式求解可得;

(3)設(shè)M(x,0),則P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、PQN均為鈍角知AOQ≌△PQN,延長(zhǎng)PQ交直線(xiàn)y=﹣1于點(diǎn)H,證OQM≌△QNH,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程,解之求得x的值從而進(jìn)一步求解即可

(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),

OA=1,

OC=3OA,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

A、C坐標(biāo)代入y=ax2﹣2ax+c,得:

解得:,

∴拋物線(xiàn)C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4);

(2)設(shè)拋物線(xiàn)C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,

過(guò)點(diǎn)G′G′Dx軸于點(diǎn)D,設(shè)BD′=m,

∵△A′B′G′為等邊三角形,

G′D=B′D=m,

則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m+1,0),點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1,m),

將點(diǎn)B′、G′的坐標(biāo)代入y=﹣(x﹣1)2+4﹣k,得:

,

解得:(舍),,

k=1;

(3)設(shè)M(x,0),則P(x,﹣x2+2x+3)、Q(x,﹣x2+2x+2),

PQ=OA=1,

∵∠AOQ、PQN均為鈍角,

∴△AOQ≌△PQN,

如圖2,延長(zhǎng)PQ交直線(xiàn)y=﹣1于點(diǎn)H,

則∠QHN=OMQ=90°,

又∵△AOQ≌△PQN,

OQ=QN,AOQ=PQN,

∴∠MOQ=HQN,

∴△OQM≌△QNH(AAS),

OM=QH,即x=﹣x2+2x+2+1,

解得:x=(負(fù)值舍去),

當(dāng)x=時(shí),HN=QM=﹣x2+2x+2=,點(diǎn)M(,0),

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為(+,﹣1),即(,﹣1);

或(,﹣1),即(1,﹣1);

如圖3,

同理可得OQM≌△PNH,

OM=PH,即x=﹣(﹣x2+2x+2)﹣1,

解得:x=﹣1(舍)或x=4,

當(dāng)x=4時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0),HN=QM=﹣(﹣x2+2x+2)=6,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4+6,﹣1)即(10,﹣1),或(4﹣6,﹣1)即(﹣2,﹣1);

綜上點(diǎn)M1,0)、N1,﹣1);M2,0)、N2(1,﹣1);M3(4,0)、N3(10,﹣1);M4(4,0)、N4(﹣2,﹣1).

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