Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q，如果的周長(zhǎng)為2，求的度數(shù)。

Answer 1

45°.

試題分析：首先從△APQ的周長(zhǎng)入手求出PQ=DQ+BP，然后將△CDQ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使得CD、CB重合，然后利用全等來(lái)解．
試題解析：如圖所示，

△APQ的周長(zhǎng)為2，即AP+AQ+PQ=2①，
正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，
∴AP+AQ+QD+PB=2②，
①-②得，PQ-QD-PB=0，
∴PQ=PB+QD．
延長(zhǎng)AB至M，使BM=DQ．連接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），
∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，
∵∠DCQ+∠QCB=90°，
∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，
PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．
在△CPQ與△CPM中，
CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，
∴△CPQ≌△CPM（SSS），
∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．