Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，過(guò)A作AD⊥x軸于D，若OA=

5

，AD=

1

2

OD，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

1

2

（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式及△AOB的面積；
（3）在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P使△OAP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由AD=

1

2

OD，設(shè)AD=x，則OD=2x，又OA的長(zhǎng)，在直角三角形AOD中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，確定出AD與DC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到A的坐標(biāo)，設(shè)出反比例解析式，把A的坐標(biāo)代入即可確定出解析式；
（2）把B的橫坐標(biāo)代入（1）中求出的反比例解析式，求出B的縱坐標(biāo)，確定出B的坐標(biāo)，設(shè)出一次函數(shù)的解析式，把A和B的坐標(biāo)代入即可確定出解析式，然后令解析式中y=0求出x的值，進(jìn)而得到OC的長(zhǎng)，而OC把三角形AOB分為兩個(gè)三角形，底邊都為OC，高為A和B的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）存在，因?yàn)榉幢壤�函�?shù)圖象關(guān)于y=-x對(duì)稱，所以找出A關(guān)于y=-x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)即為滿足題意的點(diǎn)P₁的坐標(biāo)；同理分別找出A和P₁關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)即為P₂，P₃的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)AD=x，則OD=2x，又OA=

5

，
在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD²+OD²=AO²，
即x²+（2x）²=（

5

）²，
化簡(jiǎn)得：5x²=5，解得x=1或x=-1（舍去），
所以AD=1，OD=2，
則A的坐標(biāo)為（-2，1），
設(shè)反比例解析式為y=

k

x

（k≠0），
把A的坐標(biāo)代入反比例解析式得：k=-2，
則反比例函數(shù)的解析式為y=-

2

x

；

（2）把B的橫坐標(biāo)x=

1

2

代入反比例解析式y(tǒng)=-

2

x

得：y=-4，
所以B的坐標(biāo)為（

1

2

，-4），又A（-2，1），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
將A和B的坐標(biāo)代入解析式得：

1 2 k+b=-4 -2k+b=1

，
解得：

k=-2 b=-3

，
則直線AB的解析式為：y=-2x-3，
令y=0，解得x=-

3

2

，則C（-

3

2

，0），故OC=

3

2

，
則S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

OC•|y_{A的縱坐標(biāo)}|+

1

2

OC•|y_{B的縱坐標(biāo)}|
=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×|-4|=

15

4

；

（3）存在．
∵A（-2，1），且反比例函數(shù)圖象關(guān)于y=-x對(duì)稱，
∴當(dāng)P與A關(guān)于y=-x對(duì)稱時(shí)，△OAP為等腰三角形，此時(shí)P₁（-1，2）；
當(dāng)P與P₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，△OAP為等腰三角形，此時(shí)P₂（1，-2）；
當(dāng)P與P₂關(guān)于y=-x對(duì)稱時(shí)，P₃（2，-1），O、A、P三點(diǎn)共線，△OAP不能為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理，待定系數(shù)法求反比例解析式及一次函數(shù)解析式，以及點(diǎn)關(guān)于y=-x及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的求法，要求學(xué)生掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在（2）求三角形面積時(shí)注意把三角形分為兩個(gè)同底的三角形，結(jié)合點(diǎn)A和B的縱坐標(biāo)，利用三角形的面積公式作出解答；第（3）問(wèn)題注意把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題，找對(duì)稱點(diǎn)的方法為：（a，b）關(guān)于y=-x的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-b，-a），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，-b），進(jìn)而利用對(duì)稱的思想解決問(wèn)題，同時(shí)注意把滿足題意的點(diǎn)找全．