Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延長AC到D，使CD=BC，點(diǎn)P是△ABD的內(nèi)心，則∠BPC=（ ）

A．145°
B．135°
C．120°
D．105°

Answer 1

【答案】分析：已知P為△ABD的內(nèi)心，則P點(diǎn)必在∠BAC的角平分線上，由于AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：P點(diǎn)必在BC的垂直平分線上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC的度數(shù)．
等腰△ABC中，已知了頂角∠A的度數(shù)，可求得∠ABC、∠ACB的度數(shù)；由于CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度數(shù)；由于P是△ABD的內(nèi)心，則PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度數(shù)，根據(jù)∠PBC=∠PBD-∠CBD可求出∠PBC的度數(shù)，由此得解．
解答：解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；
∴∠ABC=∠ACB=70°；
∵P是△ABD的內(nèi)心，
∴P點(diǎn)必在等腰△ABC底邊BC的垂直平分線上，
∴PB=PC，∠BPC=180°-2∠PBC；
在△CBD中，CB=CD，
∴∠CBD=∠D=∠ACB=35°；
∵P是△ABD的內(nèi)心，
∴PB平分∠ABD，
∴∠PBD=∠ABD=（∠ABC+∠CBD）=52.5°，
∴∠PBC=∠PBD-∠CBD=52.5°-35°=17.5°；
∴∠BPC=180°-2∠PBC=145°．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，考查了三角形的內(nèi)心及等腰三角形的性質(zhì)，解答此題要熟知以下概念：
三角形的內(nèi)心：三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心．