Question

如圖，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AM是BC邊的中線，AN是∠BAC的平分線，過點(diǎn)C作CD⊥AN于點(diǎn)D，連接MD，則下列四個(gè)結(jié)論：
①∠MDN=∠DCM；②DM∥AB；③CD•AB=AC•BN；④MN•MC=

1

4

（AB-AC）²．
其中正確的結(jié)論有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，可得DM是△CBE的中位線，得出DM∥AB，故②正確；
利用DM∥AB及AN是∠BAC的平分線，可證得①是正確的；
利用△MDN∽△MCD，可得出DM²=MN•MC，運(yùn)用中位線定理得出線段關(guān)系即可得出④正確；
利用三角函數(shù)得出③錯(cuò)誤．進(jìn)而得出答案．

解答：證明：如圖，延長CD交AB于點(diǎn)E，

∵AN是∠BAC的平分線，CD⊥AN于點(diǎn)D，
∴AD垂直平分CE，
∵AM是BC邊的中線，
∴DM是△CBE的中位線，
∴DM∥AB，故②正確
∴∠BAN=∠MDN，
∵AN是∠BAC的平分線，
∴∠CAN=∠BAN，
∴∠CAN=∠MDN，
∵∠DCM+∠ANC=90°，∠CAN+∠ANC=90°，
∴∠DCM=∠CAN，
∴∠MDN=∠DCM，故①正確．
∴△MDN∽△MCD，
∴

DM

MC

=

MN

DM

，
∴DM²=MN•MC，
∵DM=

1

2

BE=

1

2

（AB-AE）
∵AC=AE，
∴DM=

1

2

BE=

1

2

（AB-AC）
∴DM²=

1

4

（AB-AC）²．
∴MN•MC=

1

4

（AB-AC）²．故④正確．
∵sin∠CAN=

CD

AC

，
sin∠BAN≠

BN

AB

，
∵∠CAN=∠BAN
∴

CD

AC

≠

BN

AB

，
即CD•AB≠AC•BN；故③錯(cuò)誤．
故正確的結(jié)論有①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是能正確的作出輔助線，利用三角形中位線求解．