Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．

（1）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

（2）在（1）中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C，使△OBC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)N為對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N使得A、O、M、N構(gòu)成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（－1，）；（3） M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）．

【解析】

（1）先確定出點(diǎn)B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可；

（2）先判斷出使△BOC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)C的位置，再求解即可；

（3）分OA為對(duì)角線(xiàn)、為邊這兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算即可得出答案．

(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），OB=OA，

∴OB=OA=2，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOD=60°，

在Rt△OBD中,∠ODB=90°，

∴∠OBD=30°，

∴OD=1,DB=，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1, )，

設(shè)所求拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+bx+c，

由已知可得：

，

解得：

∴所求拋物線(xiàn)解析式為；

(2)存在.

如圖所示，

∵△BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO，

又∵OB=2，

∴要使△BOC的周長(zhǎng)最小，必須BC+CO最小，

∵點(diǎn)O和點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

∴連接AB與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，

由對(duì)稱(chēng)可知，OC=OA，

此時(shí)△BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO=OB+BC+AC；

點(diǎn)C為直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)A(2,0),B(1,)分別代入，得：

，

解得：，

∴直線(xiàn)AB的解析式為y=x+，

當(dāng)x=1時(shí)span>,y=，

∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,)；

(3)如圖所示，

①當(dāng)以OA為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，

∵OA與MN互相垂直且平分，

∴點(diǎn)M1(1,)，

②當(dāng)以OA為邊時(shí)，

∵OA=MN且OA∥MN，

即MN=2,MN∥x軸，

設(shè)N(1,t)，

則M(3,t)或(1,t)

將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，

解得，t=，

∴M2(3,)，M3 (1,)

綜上：點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（－1，－），或（－3，）或（1，）．