【題目】如圖,A(-5,0),B(-3,0),點(diǎn)C在y軸的正半軸上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°.點(diǎn)P從點(diǎn)Q(4,0)出發(fā),沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)間t秒.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)當(dāng)∠BCP=15°時(shí),求t的值;

(3)以點(diǎn)P為圓心,PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化,當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時(shí),求t的值.

【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3);(2)t的值為4+或4+3;(3)t=1或4或5.6

【解析】試題分析:(1)由∠CBO=45°,∠BOC為直角,得到△BOC為等腰直角三角形,又OB=3,利用等腰直角三角形AOB的性質(zhì)知OC=OB=3,然后由點(diǎn)Cy軸的正半軸可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論:①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),如圖2所示,由∠BCO=45°,用∠BCO-∠BCP求出∠PCO30°,又OC=3,在Rt△POC中,利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出OP的長(zhǎng),由PQ=OQ+OP求出運(yùn)動(dòng)的總路程,由速度為1個(gè)單位/秒,即可求出此時(shí)的時(shí)間t;②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),如圖3所示,用∠BCO+∠BCP求出∠PCO60°,又OC=3,在Rt△POC中,利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出OP的長(zhǎng),由PQ=OQ+OP求出運(yùn)動(dòng)的總路程,由速度為1個(gè)單位/秒,即可求出此時(shí)的時(shí)間t;
(3)當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時(shí),分三種情況考慮:
①當(dāng)⊙PBC邊相切時(shí),利用切線的性質(zhì)得到BC垂直于CP,可得出∠BCP=90°,由∠BCO=45°,得到∠OCP=45°,即此時(shí)△COP為等腰直角三角形,可得出OP=OC,由OC=3,得到OP=3,用OQ-OP求出P運(yùn)動(dòng)的路程,即可得出此時(shí)的時(shí)間t;
②當(dāng)⊙PCD相切于點(diǎn)C時(shí),PO重合,可得出P運(yùn)動(dòng)的路程為OQ的長(zhǎng),求出此時(shí)的時(shí)間t;
③當(dāng)⊙PAD相切時(shí),利用切線的性質(zhì)得到∠DAO=90°,得到此時(shí)A為切點(diǎn),由PC=PA,且PA=9-t,PO=t-4,在Rt△OCP中,利用勾股定理列出關(guān)于t的方程,求出方程的解得到此時(shí)的時(shí)間t.
綜上,得到所有滿足題意的時(shí)間t的值.

試題解析::(1)∵∠BCO=∠CBO=45°,
∴OC=OB=3,
又∵點(diǎn)Cy軸的正半軸上,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3);
(2)分兩種情況考慮:
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),如圖2,


若∠BCP=15°,得∠PCO=30°,
PO=COtan30°=,此時(shí)t=4+;
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),如圖3,


由∠BCP=15°,得∠PCO=60°,
OP=COtan60°=3,
此時(shí),t=4+3,
∴t的值為4+4+3;
(3)由題意知,若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時(shí),有以下三種情況:
①當(dāng)⊙PBC相切于點(diǎn)C時(shí),有∠BCP=90°,

從而∠OCP=45°,得到OP=3,此時(shí)t=1;
②當(dāng)⊙PCD相切于點(diǎn)C時(shí),有PC⊥CD,即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,此時(shí)t=4;

③當(dāng)⊙PAD相切時(shí),由題意,得∠DAO=90°,

∴點(diǎn)A為切點(diǎn),如圖4,PC2=PA2=(9-t)2,PO2=(t-4)2,
于是(9-t)2=(t-4)2+32,即81-18t+t2=t2-8t+16+9,
解得:t=5.6,
∴t的值為145.6.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為1080°,則這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為( 。

A. 30° B. 45° C. 60° D. 80°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】小明做這樣一道題:計(jì)算:|(3)+口|.”其中處被污漬覆蓋,他翻開(kāi)后面的答案知該題的計(jì)算結(jié)果是6,那么表示的數(shù)是___

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻,(墻長(zhǎng)25m)另外三邊用木欄圍成,木欄長(zhǎng)40m

1)若養(yǎng)雞場(chǎng)面積為200m2,求雞場(chǎng)靠墻的一邊長(zhǎng).

2)養(yǎng)雞場(chǎng)面積能達(dá)到250m2嗎?如果能,請(qǐng)給出設(shè)計(jì)方案;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】1不是﹣1的(
A.相反數(shù)
B.絕對(duì)值
C.平方數(shù)
D.倒數(shù)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列式子由左到右的變形中,屬于因式分解的是( 。

A. x+2y2=x2+4xy+4y2B. x22y+4=x12+3

C. 3x22x1=3x+1)(x1D. ma+b+c=ma+mb+mc

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣2,5),則點(diǎn)A在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列說(shuō)法中,說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有( )

①有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形;②等腰三角形的兩底角相等;③鈍角三角形不可能使等腰三角形;④有一高與一中線重合的三角形是等腰三角形;⑤在三角形中,相等的邊所對(duì)的角也相等

A. 1個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】高速路上因趕時(shí)間超速而頻頻發(fā)生交通事故,這樣給自己和他人的生命安全帶來(lái)直接影響,為了解車速情況,一名執(zhí)法交警在高速路上隨機(jī)測(cè)試了6個(gè)小轎車的車速情況記錄如下:

車序號(hào)

1

2

3

4

5

6

車速(千米/時(shí))

100

95

106

100

120

100

則這6輛車車速的眾數(shù)和中位數(shù)(單位:千米/時(shí))分別是( )
A.100,95
B.100,100
C.102,100
D.100,103

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案