已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上,且AE=CG,AH=CF,EG平分∠HEF.
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)求證:四邊形EFGH是菱形.

證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
又∵AE=CG,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF,
∴EH=FG,
∵AB=CD,AD=BC,
∴BE=DG,BF=DH,
∴△BEF≌△DGH,
∴EF=GH,
∴四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴HG∥EF,
∴∠HGE=∠FEG,
∵∠HEG=∠FEG,
∴∠HEG=∠HGE,
∴HE=HG,
∴四邊形EFGH是菱形.
分析:(1)由于四邊形ABCD是平行四邊形,易得∠A=∠C,∠B=∠D,結(jié)合AE=CG,AH=CF,利用SAS可證△AEH≌△CGF,于是
EH=FG,而AB=CD,AD=BC,利用等式性質(zhì)易得BE=DG,BF=DH,再利用SAS可證△BEF≌△DGH,于是EF=GH,易證四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)由(1)知四邊形EFGH是平行四邊形,那么EF∥GH,那么∠HGE=∠FEG,而EG是角平分線,易得∠HEG=∠FEG,
等量代換可得∠HEG=∠HGE,從而有HE=HG,易證四邊形EFGH是菱形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定.解題的關(guān)鍵是掌握兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形,一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平行四邊形ABC0中,已知點(diǎn)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(
5
,
5
),C(2
5
,0).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)將平行四邊形ABCO向左平移
5
個(gè)單位長度,求所得四邊形A′B′C′O′四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)求平行四邊形ABCO的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知:如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上,CE=BC,過E點(diǎn)作AC的垂線,交CD的延長線于點(diǎn)F.求證:AB=FC.
(2)如圖2,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0).
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.畫出圖形,直接寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)請(qǐng)直接寫出:以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南平模擬)如圖,已知四邊形ABCD.請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫(gè)關(guān)系中,選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件,推出四邊形ABCD是平行四邊形,并予證明.
關(guān)系:①AD∥BC;②AB=CD;③∠B+∠C=180°;④∠A=∠C.
已知:在四邊形ABCD中,
,
.(填序號(hào),寫出一種情況即可)  
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平行四邊形OABC中,已知點(diǎn)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A (
3
3
),C(2
3
,0).
(1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)是
(3
3
,
3
(3
3
,
3

(2)將平行四邊形OABC向左平移
3
個(gè)單位長度,求所得四邊形A′B′C′O′四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B,OB=3,,將∠OBA對(duì)折,使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上,折痕交x軸于點(diǎn)C,

(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式;

(2)若拋物線的頂點(diǎn)為D,在直線BC上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形ODAP為平行四

邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

(3)若點(diǎn)Q是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),使得以A、B、Q為頂點(diǎn)并且以AB為直角邊的直角三角形,直角寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)。

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