Question

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且AE=CG，AH=CF，EG平分∠HEF．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）求證：四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF，
∴EH=FG，
∵AB=CD，AD=BC，
∴BE=DG，BF=DH，
∴△BEF≌△DGH，
∴EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE=∠FEG，
∵∠HEG=∠FEG，
∴∠HEG=∠HGE，
∴HE=HG，
∴四邊形EFGH是菱形．
分析：（1）由于四邊形ABCD是平行四邊形，易得∠A=∠C，∠B=∠D，結(jié)合AE=CG，AH=CF，利用SAS可證△AEH≌△CGF，于是
EH=FG，而AB=CD，AD=BC，利用等式性質(zhì)易得BE=DG，BF=DH，再利用SAS可證△BEF≌△DGH，于是EF=GH，易證四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分線，易得∠HEG=∠FEG，
等量代換可得∠HEG=∠HGE，從而有HE=HG，易證四邊形EFGH是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．