【題目】定義:若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形,則這種拋物線被稱為:“直角拋物線”.如圖,直線l:y=x+b經(jīng)過點M(0,),一組拋物線的頂點B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn) (n為正整數(shù)),依次是直線l上的點,第一個拋物線與x軸正半軸的交點A1(x1,0)和A2(x2,0),第二個拋物線與x軸交點A2(x2,0)和A3(x3,0),以此類推,若x1=d(0<d<1),當d為_____時,這組拋物線中存在直角拋物線.
【答案】、、
【解析】
由拋物線的對稱性可知,所構成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形,所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半.又0<d<1,所以等腰直角三角形斜邊的長小于2,所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1,即拋物線的定點縱坐標必定小于1.
直線l:y=x+b經(jīng)過點M(0,),則b=;
∴直線l:y=.
由拋物線的對稱性知:拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的直角三角形必為等腰直角三角形;
∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半.
∵0<d<1,
∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2,斜邊上的高小于1(即拋物線的頂點縱坐標小于1);
當x=1時,,
當x=2時,,
當x=3時,,
當x=4時,,
∴直角拋物線的頂點只有B1、B2‘B3.
①若B1為頂點,由,則;
②若B2為頂點,由,則;
③若B3為頂點,由,則d=;
綜上所述,d的值為或或時.這組拋物線中存在直角拋物線.
故答案為:、、.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在甲、乙兩個不透明的布袋,甲袋中裝有3個完全相同的小球,分別標有數(shù)字0,1,2;乙袋中裝有3個完全相同的小球,分別標有數(shù)字﹣1,﹣2,0;現(xiàn)從甲袋中隨機抽取一個小球,記錄標有的數(shù)字為x,再從乙袋中隨機抽取一個小球,記錄標有的數(shù)字為y,確定點M坐標為(x,y).
(1)用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標;
(2)求點M(x,y)在函數(shù)y=﹣x+1的圖象上的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與實踐:
問題情境:(1)如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上的一點,連接BD、BE,將∠DBE繞點B順針旋轉90°,旋轉后角的兩邊分別與射線DA交于點F和點G.
①線段BE和BF的數(shù)量關系是 ;
②寫出線段DE、DF和BD之間的數(shù)量關系,并說明理由;
操作探究:(2)在菱形ABCD中,∠ADC=60°,點E是菱形ABCD邊CD所在直線上的一點,連接BD、BE,將∠DBE繞點B順時針旋轉120°,旋轉后角的兩邊分別與射線DA交于點F和點G.
①如圖2,點E在線段DC上時,請?zhí)骄烤€段DE、DF和BD之間的數(shù)量關系,寫出結論并給出證明.
②如圖3,點E在線段CD的延長線上時,BE交射線DA于點M,若DE=DC=2a,直接寫出線段FM和AG的長度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,E是CD邊上的中點,P是BC邊上的一點,且BP=2CP.
(1)求證:∠AED=∠BEC;
(2)判斷EB是否平分∠AEC,并說明理由;
(3)如圖2,連接EP并延長交AB的延長線于點F,連接AP,不添加輔助線,△PFB可以由都經(jīng)過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形,直接寫出兩種方法(指出對稱軸、旋轉中心、旋轉方向和平移距離).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:
小明在學習二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如.善于思考的小明進行了以下探索:
設(其中、、、均為整數(shù)),則有.
,.這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法.
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當、、、均為正整數(shù)時,若,用含、的式子分別表示、,得: , ;
(2)利用所探索的結論,找一組正整數(shù)、、、填空: ;
(3)若,且、、均為正整數(shù),求的值?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且點A(1,-4)為拋物線的頂點,點B在x軸上。
(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點Q是y軸上一點,且△ABQ為直角三角形,求點Q的坐標。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知銳角內(nèi)接于⊙O, 于點D,連結AO.
⑴若.
①求證:;
②當時,求面積的最大值;
⑵點E在線段OA上,,連接DE,設,(m、n是正數(shù)),若,求證:
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC.點E為CD邊上一點,AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線.
(1)請你添加一個適當?shù)臈l件 ,使得四邊形ABCD是平行四邊形,并證明你的結論;
(2)作線段AB的垂直平分線交AB于點O,并以AB為直徑作⊙O(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(3)在(2)的條件下,⊙O交邊AD于點F,連接BF,交AE于點G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若數(shù)a使關于x的分式方程=4的解為正數(shù),且使關于y,不等式組的解集為y<-2,則符合條件的所有整數(shù)a的和為______.
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