【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC.點E為CD邊上一點,AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線.
(1)請你添加一個適當?shù)臈l件 ,使得四邊形ABCD是平行四邊形,并證明你的結(jié)論;
(2)作線段AB的垂直平分線交AB于點O,并以AB為直徑作⊙O(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(3)在(2)的條件下,⊙O交邊AD于點F,連接BF,交AE于點G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半徑.
【答案】(1)當AD=BC時,四邊形ABCD是平行四邊形,理由見解析;(2)作出相應的圖形見解析;(3)圓O的半徑為2.5.
【解析】(1)添加條件AD=BC,利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗證即可;
(2)作出相應的圖形,如圖所示;
(3)由平行四邊形的對邊平行得到AD與BC平行,可得同旁內(nèi)角互補,再由AE與BE為角平分線,可得出AE與BE垂直,利用直徑所對的圓周角為直角,得到AF與FB垂直,可得出兩銳角互余,根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到∠AGF=∠AEB,根據(jù)sin∠AGF的值,確定出sin∠AEB的值,求出AB的長,即可確定出圓的半徑.
(1)當AD=BC時,四邊形ABCD是平行四邊形,理由為:
證明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四邊形ABCD為平行四邊形;
故答案為:AD=BC;
(2)作出相應的圖形,如圖所示;
(3)∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵AE與BE分別為∠DAB與∠CBA的平分線,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°,
∵AB為圓O的直徑,點F在圓O上,
∴∠AFB=90°,
∴∠FAG+∠FGA=90°,
∵AE平分∠DAB,
∴∠FAG=∠EAB,
∴∠AGF=∠ABE,
∴sin∠ABE=sin∠AGF=,
∵AE=4,
∴AB=5,
則圓O的半徑為2.5.
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【題目】(3分)如圖,OA在x軸上,OB在y軸上,OA=8,AB=10,點C在邊OA上,AC=2,⊙P的圓心P在線段BC上,且⊙P與邊AB,AO都相切.若反比例函數(shù)()的圖象經(jīng)過圓心P,則k= .
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【題目】定義:若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形,則這種拋物線被稱為:“直角拋物線”.如圖,直線l:y=x+b經(jīng)過點M(0,),一組拋物線的頂點B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn) (n為正整數(shù)),依次是直線l上的點,第一個拋物線與x軸正半軸的交點A1(x1,0)和A2(x2,0),第二個拋物線與x軸交點A2(x2,0)和A3(x3,0),以此類推,若x1=d(0<d<1),當d為_____時,這組拋物線中存在直角拋物線.
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象經(jīng)過點(1,4),一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過反比例函數(shù)圖象上的點Q(﹣4,n).
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式;
(2)一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點,與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P點,連結(jié)OP、OQ,求△OPQ的面積.
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【題目】隨著移動終端設備的升級換代,手機已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的一部分,為了解中學生在假期使用手機的情況(選項:A.和同學親友聊天;B.學習;C.購物;D.玩游戲;E.其它),端午節(jié)后某中學在全校范圍內(nèi)隨機抽取了若干名學生進行調(diào)査,得到如圖表(部分信息未給出):
選項 | 頻數(shù) | 百分比 |
A | 10 | m |
B | n | 0.2 |
C | 5 | 0.1 |
D | p | 0.4 |
E | 5 | 0.1 |
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學生有多少人?
(2)求表中m,n,p的值,并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學約有2400名學生,估計全校學生中利用手機購物或玩游戲的共有多少人?并根據(jù)以上調(diào)査結(jié)果,就中學生如何合理使用手機給出你的一條建議.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A(﹣1,﹣1)和點B(3,﹣1).
(1)求這條拋物線所對應的二次函數(shù)的表達式.
(2)寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標和二次函數(shù)的最值.
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【題目】關于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)如果k是符合條件的最大整數(shù),且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0與方程x2﹣3x+k=0有一個相同的根,求此時m的值.
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【題目】如圖,半圓D的直徑AB=4,線段OA=7,O為原點,點B在數(shù)軸的正半軸上運動,點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)為m.
(1)當半圓D與數(shù)軸相切時,m= .
(2)半圓D與數(shù)軸有兩個公共點,設另一個公共點是C.
①直接寫出m的取值范圍是 .
②當BC=2時,求△AOB與半圓D的公共部分的面積.
(3)當△AOB的內(nèi)心、外心與某一個頂點在同一條直線上時,求tan∠AOB的值.
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點F.
(1)求證:△AEC≌△ADB;(2)若AB=2,∠BAC=45°,當四邊形ADFC是菱形時,求BF的長.
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