【題目】已知:如圖,菱形ABCD中,AB=10cm,BD=12cm,對角線AC與BD相交于點O,直線MN以1cm/s從點D出發(fā),沿DB方向勻速運動,運動過程中始終保持MN⊥BD,垂足是點P,過點P作PQ⊥BC,交BC于點Q.(0<t<6)
(1)求線段PQ的長;(用含t的代數(shù)式表示)
(2)設△MQP的面積為y(單位:cm2),求y與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某時刻t,使線段MQ恰好經(jīng)過點O?若存在求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖1中,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴BC=AB=10,OB=OD=6,BD⊥AC,
在Rt△BOC中,OC= = =8,
∴sin∠OBC= = ,
在Rt△PBQ中,∵PB=12﹣t,
sin∠PBQ= = ,
∴PQ= (12﹣t)= ﹣ t(0<t<6)
(2)
解:如圖2中,作QH⊥MN于H.
∵∠QPH+∠BPQ=90°,∠BPQ+∠CBO=90°,
∴∠QPH=∠CBO,
∴QH=PQsin∠QPH= ( ﹣ t),
易知PM= t,
∴y= PMQH= t ( ﹣ t)= ﹣ t(0<t<6)
(3)
解:如圖3中,連接QN.
當MQ經(jīng)過點O時,易證△BOQ≌△DOM,
∴BQ=DM,OM=OQ,
∵PM=PN,
∴OP∥QN,NQ=2OP,
∴QN⊥MN,QN= ( ﹣ t),
∴ ( ﹣ t)=2(6﹣t),
解得t= ,
∴t= 時,MQ經(jīng)過點O
【解析】【(1)如圖1中,在Rt△BOC中,OC= = =8,推出sin∠OBC= = ,在Rt△PBQ中,由PB=12﹣t推出sin∠PBQ= = ,即可求出PQ.(2)如圖2中,作QH⊥MN于H.求出QH、PM即可解決問題.(3)如圖3中,連接QN只要證明QM經(jīng)過點O時,OP是△MQN的中位線,得到QN=2OP,由此列出方程即可解決問題.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對相似三角形的應用的理解,了解測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax-2ax-3a(a<0)與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與拋物線交于點P,與直線BC交于點M,且PM= AB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點K是x軸正半軸上一點,點A、P關(guān)于點K的對稱點分別為 、 ,連接 、 ,若 ,求點K的坐標;
(3)矩形ADEF的邊AF在x軸負半軸上,邊AD在第二象限,AD=2,DE=3.將矩形ADEF沿x軸正方向平移t(t>0)個單位,直線AD、EF分別交拋物線于G、H.問:是否存在實數(shù)t,使得以點D、F、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,O為AC中點,過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F,連接BF交AC于點M,連接DE、BO.若∠COB=60°,F(xiàn)O=FC,則下列結(jié)論:①FB垂直平分OC;②△EOB≌△CMB;③DE=EF;④S△AOE:S四邊形DGOF=2:7.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,AE⊥BD于點O,交BC于點E,AD∥BC,連接CD.
(1)求證:AO=EO;
(2)若AE是△ABC的中線,則四邊形AECD是什么特殊四邊形?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一條筆直的公路上有A、B兩地,甲騎自行車從A地到B地;乙騎摩托車從B地到A地,到達A地后立即按原路返回.如圖是甲、乙兩人離B地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象解答以下問題:
(1)直接寫出y甲,y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不寫過程);
(2)①求出點M的坐標,并解釋該點坐標所表示的實際意義;
②根據(jù)圖象判斷,x取何值時,y乙>y甲.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AC⊥BC,AC=BC=4,以AC為直徑作半圓,圓心為點O;以點C為圓心,BC為半徑作 .過點O作BC的平行線交兩弧于點D、E,則陰影部分的面積是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】海上有一小島,為了測量小島兩端A、B的距離,測量人員設計了一種測量方法,如圖所示,已知B點是CD的中點,E是BA延長線上的一點,測得AE=8.3海里,DE=30海里,且DE⊥EC,cos∠D= .
(1)求小島兩端A、B的距離;
(2)過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F,求sin∠BCF的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】正比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象相交于A,B兩點,點A在第二象限,點A的橫坐標為﹣1,作AD⊥x軸,垂足為D,O為坐標原點,S△AOD=1.若x軸上有點C,且S△ABC=4,則C點坐標為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,圖1、圖2、圖3分別表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路線圖(箭頭表示行進的方向).其中E為AB的中點,AH>HB,判斷三人行進路線長度的大小關(guān)系為
A.甲<乙<丙 B.乙<丙<甲 C.丙<乙<甲 D.甲=乙=丙
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