【題目】已知:如圖,菱形ABCD中,AB=10cm,BD=12cm,對角線AC與BD相交于點O,直線MN以1cm/s從點D出發(fā),沿DB方向勻速運動,運動過程中始終保持MN⊥BD,垂足是點P,過點P作PQ⊥BC,交BC于點Q.(0<t<6)
(1)求線段PQ的長;(用含t的代數(shù)式表示)
(2)設△MQP的面積為y(單位:cm2),求y與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某時刻t,使線段MQ恰好經(jīng)過點O?若存在求出此時t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:如圖1中,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴BC=AB=10,OB=OD=6,BD⊥AC,

在Rt△BOC中,OC= = =8,

∴sin∠OBC= =

在Rt△PBQ中,∵PB=12﹣t,

sin∠PBQ= = ,

∴PQ= (12﹣t)= t(0<t<6)


(2)

解:如圖2中,作QH⊥MN于H.

∵∠QPH+∠BPQ=90°,∠BPQ+∠CBO=90°,

∴∠QPH=∠CBO,

∴QH=PQsin∠QPH= t),

易知PM= t,

∴y= PMQH= t t)= t(0<t<6)


(3)

解:如圖3中,連接QN.

當MQ經(jīng)過點O時,易證△BOQ≌△DOM,

∴BQ=DM,OM=OQ,

∵PM=PN,

∴OP∥QN,NQ=2OP,

∴QN⊥MN,QN= t),

t)=2(6﹣t),

解得t= ,

∴t= 時,MQ經(jīng)過點O


【解析】【(1)如圖1中,在Rt△BOC中,OC= = =8,推出sin∠OBC= = ,在Rt△PBQ中,由PB=12﹣t推出sin∠PBQ= = ,即可求出PQ.(2)如圖2中,作QH⊥MN于H.求出QH、PM即可解決問題.(3)如圖3中,連接QN只要證明QM經(jīng)過點O時,OP是△MQN的中位線,得到QN=2OP,由此列出方程即可解決問題.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對相似三角形的應用的理解,了解測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.

練習冊系列答案
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(1)求拋物線的解析式;
(2)點K是x軸正半軸上一點,點A、P關(guān)于點K的對稱點分別為 、 ,連接 、 ,若 ,求點K的坐標;
(3)矩形ADEF的邊AF在x軸負半軸上,邊AD在第二象限,AD=2,DE=3.將矩形ADEF沿x軸正方向平移t(t>0)個單位,直線AD、EF分別交拋物線于G、H.問:是否存在實數(shù)t,使得以點D、F、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.

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(2)①求出點M的坐標,并解釋該點坐標所表示的實際意義;

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