Question

如圖直角△ABC中，∠C=90°．
（1）畫出△ABC的內(nèi)切圓，圓心為O，與邊AB、AC、BC分別相切于D、E、F（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）直接寫出∠AOB的度數(shù)：∠AOB=______度．
（3）若AD=6，BD=4，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）∠AOB=180°-（∠OAD+∠OBD）
=180°-（∠CAB+∠ABC）
=180°-（180°-∠C）
=90°+∠C=135°；

（3）設(shè)CE=x．
∵CE=CF，AE=AD，BF=BD，
∴AC=6+x，BC=4+x，
在△ABC中，AB²=AC²+BC²，
∴10²=（6+x）²+（4+x）²，
解得x₁=2，x₂=-12（不合題意，舍去）．
∴AC=8，BC=6，
∴△ABC的面積為×8×6=24．
分析：（1）分別作出∠BAC，∠ABC的平分線，交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)到一邊的距離為半徑畫圓即可；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義可得∠AOB=90°+∠C，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解；
（3）根據(jù)勾股定理可求得CE長(zhǎng)，也就求得了AC及BC長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可得所求的三角形的面積．
點(diǎn)評(píng)：三角形內(nèi)切圓的圓心為任意兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，半徑為內(nèi)心到邊的距離；三角形任意兩內(nèi)角平分線相交所得的鈍角等于90°+第三個(gè)角的一半；從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，這兩條切線長(zhǎng)相等．