【題目】如圖,在O上依次有A、B、C三點(diǎn),BO的延長(zhǎng)線交OE,,過(guò)點(diǎn)CCDABBE的延長(zhǎng)線于D,連ADO于點(diǎn)F

1)求證:四邊形ABCD是菱形;

2)連接OAOF

當(dāng)∠ABC   °時(shí),點(diǎn)F 的中點(diǎn);

若∠AOF3FOEAF3,則O的半徑是   

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2①72②3

【解析】

1)先根據(jù)圓的性質(zhì)得:∠CBD=∠ABD,由平行線的性質(zhì)得:∠ABD=∠CDB,根據(jù)直徑和等式的性質(zhì)得 ,則ABBC,即可得出結(jié)論;

2由題意得出∠AOF=∠EOFm,證出∠ABE=∠ADEm,則∠OAF=∠OFA=∠EOF+ADE2m,由三角形內(nèi)角和定理得出方程,解方程即可;

先設(shè)∠FOEx,則∠AOF3x,根據(jù)∠ABC+BAD180°,列方程求出x的值,證△AOF是等邊三角形,得出OFAF3即可.

1)證明:∵ ,

∴∠CBD=∠ABD,

CDAB

∴∠ABD=∠CDB,

∴∠CBD=∠CDB,

CBCD

BEO的直徑,

,

ABBCCD,

CDAB,

∴四邊形ABCD是菱形;

2)解:如圖所示:

F的中點(diǎn),則∠AOF=∠EOF

設(shè)∠AOF=∠EOFm,

∵四邊形ABCD是菱形,

ABAD,∠ABE=∠ADE

∵∠AOD2ABE,

∴∠ABE=∠ADEm,

∴∠OAF=∠OFA=∠EOF+ADE2m,

∵∠AOF+OAF+OFA180°,

2m+2m+m180°,

m36°,

∴∠ABE72°,

即∠ABC72°時(shí),點(diǎn)F的中點(diǎn),

故答案為:72

∵∠AOF3FOE,

設(shè)∠FOEx,則∠AOF3x,

AOD=∠FOE+AOF4x,

OAOF,

∴∠OAF=∠OFA (180°﹣3x)

OAOB,

∴∠OAB=∠OBA2x,

∴∠ABC4x,

BCAD

∴∠ABC+BAD180°,

4x+2x+ (180°﹣3x)180°,

解得:x20°,

∴∠AOF3x60°,

OAOF,

∴△AOF是等邊三角形,

OFAF3

O的半徑是3;

故答案為:3

【點(diǎn)晴】

本題考查平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù),列方程求角的度數(shù),證明三角形是等邊三角形是解題的突破點(diǎn),是屬于中考?碱}型.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求手工每小時(shí)加工產(chǎn)品的數(shù)量;

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2)過(guò)點(diǎn),垂足為點(diǎn),直線于點(diǎn)

①當(dāng)時(shí),設(shè)(其中表示的面積,表示的面積),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;

②當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng).

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2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記線段圍成的區(qū)域(不含邊界)為G

①當(dāng)時(shí),結(jié)合函數(shù)圖象,求區(qū)域G內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù);

②若區(qū)域G內(nèi)恰有2個(gè)整點(diǎn),直接寫出k的取值范圍.

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1)求拋物線的解析式;

2)①如圖(1),點(diǎn)是直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形的面積取最大值時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

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