Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點放在O處，一直角邊OM在射線O上，另一直角邊ON在直線AB的下方
（1）將圖1中的三角形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：此時直線ON是否平分∠AOC？計算出圖中相關(guān)角的度數(shù)說明你的觀點；
（2）將圖1中的三角板以每秒10°的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第n秒時，直線ON恰好平分∠AOC，則n的值為

 

（直接寫出答案）；
（3）將圖1中三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部時，求∠AOM-∠NOC的度數(shù)．

Answer 1

考點：角的計算,余角和補角

專題：

分析：（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠BON=30°，即旋轉(zhuǎn)60°或240°時ON平分∠AOC，據(jù)此求解；
（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解答：解：（1）直線ON平分∠AOC．理由：
設(shè)ON的反向延長線為OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON（對頂角相等），
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直線ON平分∠AOC；
（2）∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=∠COD=30°，
即旋轉(zhuǎn)60°時ON平分∠AOC，
由題意得，10n=60°或240°，
∴n=6或24；
故答案為：6或24；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．

點評：本題考查了角平分線的定義，應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．