Question

【題目】綜合：
（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)；

（2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點M，N是BD邊上的任意兩點，且∠MAN=45°，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，BM之間的數(shù)量關系，并說明理由．

（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若DN=3 ，BM=3 ，求MN的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，

在Rt△ABE和Rt△AGE中， ，

∴△ABE≌△AGE（HL），

∴∠BAE=∠GAE，

同理∠GAF=∠DAF，

∴∠EAF= =45°；

（2）解：如圖②，

∵∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

由題意知△ABM≌ADH，

∴∠ADH=∠ABM=45°，AH=AM，

∴∠BDH=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠DAN+∠DAH=45°，

即∠NAH=45°，

在△AMN和△AHN中，

，

∴△AMN≌△AHN（SAS），

∴HN=MN，

在Rt△NDH中，NH2=DH2+ND2，

∴MN2=BM2+DN2

（3）解：如圖③，由（2）中結論可知：MN2=BM2+DN2，

∵DN=3 ，BM=3 ，

∴MN= =9．

【解析】（1）由HL證明△ABE≌△AGE、△AGF≌△ADF即可，只需證明一對全等，另一對同理可證；（2）先證明△AMN≌△AHN，進而證明△NHD是直角三角形即可；（3）利用（2）中結論建立方程，解之即可．