Question

已知拋物線y=x²-（2m+4）x+m²-10與x軸交于A、B兩點，C是拋物線的頂點．
（1）用配方法求頂點C的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）若AB的長為，求拋物線的解析式；
（3）怎樣平移（2）中的這條拋物線，使它在x軸上截得的線段長為4？

Answer 1

解：（1）將拋物線y=x²-（2m+4）x+m²-10配方得，
y=[x-（m+2）]²-（4m+14），
∴C（m+2，-4m-14）；

（2）設方程x²-（2m+4）x+m²-10=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2m+4，x₁•x₂=m²-10，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（2m+4）²-4（m²-10）=16m+56，
∵AB=|x₁-x₂|，
∴=2，
解得m=-3，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=x²+2x-1；

（3）設向下平移a個單位，拋物線y=x²-（2m+4）x+m²-10-a，
設方程x²-（2m+4）x+m²-10-a=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2m+4，x₁•x₂=m²-10-a，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（2m+4）²-4（m²-10-a）=16m+56+4a，
∵AB=|x₁-x₂|，
∴=4，
解得a=2，
∴向下平移2個單位．
分析：（1）將y=x²-（2m+4）x+m²-10配方，化成y=a（x-h）²+k的形式，（h，k）即為頂點C的坐標，
（2）設方程x²-（2m+4）x+m²-10=0的兩根為x₁，x₂，則AB=|x₁-x₂|，根據(jù)根與系數(shù)的關系，可求得x₁+x₂和x₁•x₂，求出m的值，從而得出拋物線的解析式；
（3）設向下平移a個單位，拋物線y=x²-（2m+4）x+m²-10-a，即AB的長為4，由（2）得出a的值．
點評：本題考查了拋物線和x軸的交點問題，二次函數(shù)的性質以及圖形與幾何變換，是中考壓軸題，難度偏大．