Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2個(gè)單位/秒的速度同時(shí)沿A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，⊙P和⊙Q的半徑都為1．求：
（1）求圓心距PQ的最大值；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求兩圓相切時(shí)t的值；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，兩圓相離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，兩圓的圓心距PQ最大，可得出PC，根據(jù)勾股定理，即可求得PQ的長；
（2）分兩種情況，討論解答，第一次相切時(shí)，如圖一，作QD⊥AC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得出QD=t，然后，根據(jù)勾股定理列出等式，即可得出t值；第二次相切時(shí)，如圖二，可得出PC=8-t，QC=16-2t，根據(jù)勾股定理，即可得出；
（3）由（2）可知，兩圓相離時(shí)，t的取值；
解答：解：（1）由題意可知，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，兩圓的圓心距PQ最大，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴⊙Q運(yùn)動(dòng)了10÷2=5秒，
∴PC=8-5=3，
∴PQ==3；

（2）分兩種情況：
①如圖1，作QD⊥AC，此時(shí)，AP=t，AQ=2t，PQ=2，
∴△AQD∽△ABC，
∴=，即=，得QD=t，
∴-t=，
解得，t=；
②如圖2，此時(shí)，AP=t，PQ=2，
∴PC=8-t，QC=16-2t，
∴QC²+PC²=PQ²，
即（16-2t）²+（8-t）²=2²，
解得，t=8+（舍去），t=8-；
綜上，當(dāng)t=或t=8-時(shí)，兩圓相切；

（3）由（2）可得，
當(dāng)＜t＜8-時(shí)，兩圓相離．
點(diǎn)評：本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，知道圓和圓的位置與兩圓的圓心距、半徑的數(shù)量之間的關(guān)系：①兩圓外離?d＞R+r；②兩圓外切?d=R+r．