【題目】如圖,已知AB為O的直徑,AC為O的切線,OC交O于點(diǎn)D,BD的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E.

(1)求證:1=CAD;

(2)若AE=EC=2,求O的半徑.

【答案】(1)證明見解析;(2)O的半徑為

【解析】

試題分析:(1)由AB為O的直徑,AC為O的切線,易證得CAD=BDO,繼而證得結(jié)論;

(2)由(1)易證得CAD∽△CDE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得CD的長(zhǎng),再利用勾股定理,求得答案.

試題解析:(1)AB為O的直徑,

∴∠ADB=90°,

∴∠ADO+BDO=90°,

AC為O的切線,

OAAC,

∴∠OAD+CAD=90°,

OA=OD,

∴∠OAD=ODA,

∵∠1=BDO,

∴∠1=CAD;

(2)∵∠1=CAD,C=C,

∴△CAD∽△CDE,

CD:CA=CE:CD,

CD2=CACE,

AE=EC=2,

AC=AE+EC=4,

CD=2,

設(shè)O的半徑為x,則OA=OD=x,

則RtAOC中,OA2+AC2=OC2,

x2+42=(2+x)2,

解得:x=

∴⊙O的半徑為

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∴∠3=∠

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