如圖①所示,已知,BC∥OA,∠B=∠A=100°,試回答下列問題:
⑴試說明:OB∥AC;
⑵如圖②,若點E、F在BC上,且∠FOC=∠AOC ,OE平分∠BOF.試求∠EOC的度數(shù);
⑶在⑵的條件下,若左右平行移動AC,如圖③,那么∠OCB:∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化?若變化,試說明理由;若不變,求出這個比值;
⑷在⑶的條件下,當∠OEB=∠OCA時,試求∠OCA的度數(shù).
(1)理由見解析;(2)40°;(3)不變,1:2;(4)60.
解析試題分析:(1)由同旁內(nèi)角互補,兩直線平行證明.
(2)由∠FOC=∠AOC,并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOC=(∠BOF+∠FOA)=∠BOA,算出結(jié)果.
(3)先得出結(jié)論:∠OCB:∠OFB的值不發(fā)生變化,理由為:由BC與AO平行,得到一對內(nèi)錯角相等,由∠FOC=∠AOC,等量代換得到一對角相等,再利用外角性質(zhì)等量代換即可得證;
(4)由(2)(3)的結(jié)論可得.
(1)∵BC∥OA,
∴∠B+∠O=180°,又∵∠B=∠A,
∴∠A+∠O=180°,
∴OB∥AC;
(2)∵∠B+∠BOA=180°,∠B=100°,
∴∠BOA=80°,
∵OE平分∠BOF,
∴∠BOE=∠EOF,又∵∠FOC=∠AOC,
∴∠EOF+∠FOC=(∠BOF+∠FOA)=∠BOA=40°;
(3)結(jié)論:∠OCB:∠OFB的值不發(fā)生變化.理由為:
∵BC∥OA,
∴∠FCO=∠COA,
又∵∠FOC=∠AOC,
∴∠FOC=∠FCO,
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB,
∴∠OCB:∠OFB=1:2;
(4)由(1)知:OB∥AC,
則∠OCA=∠BOC,
由(2)可以設(shè):∠BOE=∠EOF=α,∠FOC=∠COA=β,
則∠OCA=∠BOC=2α+β,
∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β,
∵∠OEC=∠OCA,
∴2α+β=α+2β,
∴α=β,
∵∠AOB=80°,
∴α=β=20°,
∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60.
考點:1.平行線的判定與性質(zhì);2.角的計算;3.平移的性質(zhì).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
問題情境:將一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按圖1所示的方式擺放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中點,點D與點O重合,DF⊥AC于點M,DE⊥BC于點N,試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
探究展示:小宇同學(xué)展示出如下正確的解法:
解:OM=ON,證明如下:
連接CO,則CO是AB邊上中線,
∵CA=CB,∴CO是∠ACB的角平分線.(依據(jù)1)
∵OM⊥AC,ON⊥BC,∴OM=ON.(依據(jù)2)
反思交流:
(1)上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指:
依據(jù)1: ;
依據(jù)2: .
(2)你有與小宇不同的思考方法嗎?請寫出你的證明過程.
拓展延伸:
(3)將圖1中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置,使點D落在BA的延長線上,F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M,BC的延長線與DE垂直相交于點N,連接OM、ON,試判斷線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并寫出證明過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知:如圖,直線AB與直線BC相交于點B,點D是直線BC上一點,求作:點E,使直線DE∥AB,且點E到B、D兩點的距離相等.(尺規(guī)作圖,要求在題目的原圖中完成作圖)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在圖a、圖b、圖c中都有直線m∥n,
(1)在圖a中,∠2和∠1、∠3之間的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)猜想:在圖b中,∠1、∠2、∠3、∠4之間的數(shù)量關(guān)系是 。
(3)猜想:在圖c中,∠2、∠4和∠1、∠3、∠5的數(shù)量關(guān)系式是 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知:如圖,是直角,,是的平分線,是的平分線.
(1)求的大小.
(2)當銳角的大小發(fā)生改變時,的大小是否發(fā)生改變?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:計算題
開心畫一畫(在原圖上作圖,保留作圖痕跡)
【小題1】在AD的右側(cè)作∠DCP=∠DAB;
【小題2】在射線CP上取一點E,使CE=AB,連接BE.AE.
【小題3】畫出△ABE的BE邊上的高AF和AB邊上的高EG.
(2分)如果已知:AB=10,BE=12,EG=6,則AF= (直接填結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:計算題
如圖,△ABD ≌△EBD, △DBE ≌△DCE, B, E, C在一條直線上.
【小題1】BD是∠ABE的平分線嗎?為什么
【小題2】DE⊥BC,BE=EC嗎?為什么
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