Question

如圖，AC為⊙O的直徑，過點C的切線與弦AB的延長線交于點D，OE為半徑，OE⊥AB于點H，連接CE．求證：∠COE=2∠DCE．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連結(jié)AE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得AC⊥CD，則∠ACE+∠DCE=90°，再根據(jù)圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，則利用等角的余角相等得∠DCE=∠CAE，而∠OAE=∠OEA，∠COE=∠OAE+∠OEA，則∠COE=2∠OAE，所以∠COE=2∠DCE．

解答：證明：連結(jié)AE，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴AC⊥CD，
∴∠ACE+∠DCE=90°，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DCE=∠CAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠COE=∠OAE+∠OEA，
∴∠COE=2∠OAE，
∴∠COE=2∠DCE．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)．