Question

如圖，已知反比例函數(shù)y₁=

k

x

和一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為2．一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象與x軸相交于點(diǎn)C，且三角形ABC是等腰直角三角形．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，即OB=1，△AOB的面積為2得到AB=4，確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），把它代入反比例函數(shù)y₁=

k

x

確定k=4；又三角形ABC是等腰直角三角形，得到BC=BA=4，則OC=3，確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；
（2）把y=

4

x

和y=x+3聯(lián)立起來解得到兩圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-1），通過觀察圖象找出反比例圖象在一次函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的x的范圍即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，即OB=1，△AOB的面積為2，
∴

1

2

•OB•AB=2，解得AB=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
把A（1，4）代入反比例函數(shù)y₁=

k

x

，得k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；
又∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴BC=BA=4，
∴OC=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
把A（1，4）和C（-3，0）代入y₂=ax+b得，k+b=4，-3k+b=0，解得k=1，b=3，
∴一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x+3；

（2）聯(lián)立y=

4

x

和y=x+3，解得x=1，y=4；x=-4，y=-1，
∴兩圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-1），
觀察圖象，當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，即反比例圖象在一次函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的x的范圍為：x＜-4或0＜x＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解反比例函數(shù)綜合題的方法：通過幾何條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)圖象的解析式，再運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題．也考查了觀察圖象的能力．