Question

如圖，△ABC中AC=BC，D為邊AB上的一點(diǎn)，且∠BCD=3∠ACD，O為AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的⊙O恰好經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．
（1）求證：直線AB為⊙O的切線；
（2）若BD=4，AD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）連接OD，過(guò)C作CM⊥AB，如圖所示：

∵CA=CB，又CM⊥AB，
∴CM平分∠ACB，
又∠BCD=3∠ACD，設(shè)∠BCD=3x，∠ACD=x，
∴∠ACM=2x，
∴∠DCM=∠ACM-∠ACD=x，
又OC=OD，∴∠ODC=∠ACD=x，
∴∠ODC=∠DCM，
∴OD∥CM，又∠AMC=90°，
∴∠ADO=90°，即OD⊥AD，
∴AB為圓O的切線；

（2）∵CA=CB，又CM⊥AB，
∴M為AB的中點(diǎn)，即AM=BM，
又AD=2，BD=4，
∴AM=AB=3，則DM=AM-AD=3-2=1，
過(guò)D作DN⊥AC，
∵∠ACD=∠MCD，又DM⊥MC，DN⊥AC，
∴DM=DN=1，
在直角三角形ADN，DM=1，AD=2，
∴∠A=30°，
在直角三角形AOD中，
tanA=，即tan30°=，
∴OD=2×=．
分析：（1）連接OD，過(guò)C作CM垂直于AB，由AC=BC，根據(jù)三線合一得到CM為頂角∠ACB的平分線，又∠BCD=3∠ACD，設(shè)∠ACD=x，可得∠BCD=3x，進(jìn)而得到∠ACB=4x，根據(jù)角平分線定義可得∠ACM=2x，再用∠ACM-∠ACD可得∠DCM=x，再根據(jù)半徑OC=OD，利用等邊對(duì)等角，可得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得OD與CM平行，有CM與AB垂直可得OD與AB垂直，可得AB為圓O的切線；
（2）由AC=BC，且CM為底邊上的高，根據(jù)三線合一得到M為AB的中點(diǎn)，再由AD及BD的值求出AB的值，進(jìn)而求出AM的值，可求出DM的值為1，過(guò)D作DN垂直AC，由（1）得到CD為∠ACM的平分線，根據(jù)角平分線定理得到DM=DN，可得DN的值為1，在直角三角形ADN中，由DN=1，斜邊AD=2，可得∠A為30°，在直角三角形AOD中，根據(jù)正切的定義，tanA等于對(duì)邊OD比鄰邊AD，利用特殊角的三角函數(shù)值及AD的長(zhǎng)即可求出半徑OD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線定理，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，以及直角三角形的性質(zhì)，判定切線的方法為：有點(diǎn)連接證垂直；無(wú)點(diǎn)過(guò)圓心作垂線，證明垂線段長(zhǎng)等于半徑，根據(jù)題意作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．